GabaritoA — 8.
Gabarito: letra A — a conta chega a 8 — alternativa A.
Uma sequência é uma lista ordenada de elementos que segue uma regra. Aqui temos duas: A é uma progressão aritmética (PA), onde cada termo é o anterior somado a uma constante (a razão). B não é uma sequência de números no sentido usual: ela é formada juntando os algarismos de cada termo de A, um após o outro, como se escrevêssemos os números em uma fita contínua.
O termo geral de uma PA é a_n = a_1 + (n-1)·r. Aqui a_1 = 1 e r = 3, então a_n = 3n - 2. A sequência B é a concatenação dos algarismos de a_1, a_2, a_3, ... . O desafio é mapear uma posição em B para a posição correspondente em A, considerando que números com mais algarismos ocupam mais posições em B.
Para achar o 245º termo de B, precisamos descobrir em qual termo de A ele está e qual algarismo desse termo ele é. Isso exige contar quantos algarismos cada grupo de termos de A contribui para B, até ultrapassar a posição 245.
sequência A: 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, ...
sequência B: concatenação dos algarismos de A
posição procurada: 245º termo de B
O que queremos: o 245º termo da sequência B
Os primeiros termos de A são 1, 4, 7 (um algarismo cada) e depois 10, 13, 16, ... (dois algarismos). Precisamos saber quantos algarismos de B são formados até o fim dos números de dois algarismos, para saber onde começa a parte de três algarismos.
Por que esta fórmula: Cada termo de A com um algarismo contribui com 1 posição em B; cada termo com dois algarismos contribui com 2 posições. Então o total é a soma das contribuições.
De onde vem cada valor: = constante: quantidade de termos de A com um algarismo (1, 4, 7) · = constante: cada termo de um algarismo contribui com 1 posição em B · = constante: quantidade de termos de A com dois algarismos (de 10 a 97) · = constante: cada termo de dois algarismos contribui com 2 posições em B
Esquecer que os três primeiros termos têm um algarismo e contar todos como dois.
O 245º termo de B está além dos 63 primeiros. Precisamos saber quantas posições avançar a partir daí.
Por que esta fórmula: Subtração simples: a posição alvo menos a posição já coberta.
De onde vem cada valor: = enunciado: posição procurada · = passo 1
Subtrair ao contrário, dando negativo.
A partir do 34º termo de A (que é 100), todos os números têm três algarismos. Cada um ocupa 3 posições em B. Precisamos ver quantos números completos cabem nos 182 algarismos restantes.
Por que esta fórmula: Dividir o total de algarismos restantes pela quantidade de algarismos por número (3) dá quantos números completos e quantos algarismos sobram.
De onde vem cada valor: = passo 2 · = constante: cada número de três algarismos contribui com 3 algarismos
60 números completos, resto 2
Confundir o resto: o resto 2 indica que o 245º termo é o segundo algarismo do próximo número.
O 34º termo de A é o primeiro de três algarismos. Depois de 60 números completos, o próximo (o 61º) é o que contém o 245º termo de B. Precisamos saber qual termo de A é esse.
Por que esta fórmula: A ordem do termo é a ordem do primeiro de três algarismos (34) mais a quantidade de números completos (60).
De onde vem cada valor: = constante: primeiro termo de A com três algarismos (100) · = passo 3: números completos
Esquecer de somar 1, achando que o 61º número é o 93º termo.
Agora que sabemos que o 245º termo de B está no 94º termo de A, precisamos saber qual número é esse para extrair o algarismo.
Por que esta fórmula: Usamos a fórmula do termo geral da PA: a_n = 3n - 2.
De onde vem cada valor: = constante: razão da PA · = passo 4 · = constante: da fórmula a_n = 3n - 2
Errar a multiplicação 3×94.
O resto 2 do passo 3 indica que o 245º termo de B é o segundo algarismo do número 280. Precisamos identificá-lo.
Por que esta fórmula: O número 280 tem três algarismos: 2 (centenas), 8 (dezenas) e 0 (unidades). O segundo algarismo é o das dezenas.
De onde vem cada valor: = passo 5
Contar o algarismo errado: o primeiro é 2, o segundo é 8, o terceiro é 0.
Resposta: 8 — alternativa A
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