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Questão de Raciocínio Lógico — Outros Exercícios de Lógica — VUNESP 2025

Raciocínio LógicoOutros Exercícios de Lógica
Código
vu222553
Banca
VUNESP
Órgão
Pref Sorocaba
Ano
2025
Cargo
Prof ( )
Leia o texto a seguir para responder a questão a seguir:   Uma das estratégias apontadas no capítulo 14 do livro A resolução de problemas na Matemática Escolar, organizado por Krulik e Reys, para resolver problemas mais complexos é a de procurar inicialmente resolver um problema mais simples que esteja relacionado com o problema complexo que se quer resolver. Dois problemas complexos citados, que podem se beneficiar da estratégia de “problemas mais simples”, são:   se beneficiar da estratégia de “problemas mais simples”, são: 1. Quantos quadrados de todos os tamanhos possíveis há num tabuleiro de 8 × 8? 2. Encontre todas as soluções da equação(y2+1y2)−18(y+1y)−17=0\left(y^2 + \frac{1}{y^2}\right) - 18\left(y + \frac{1}{y}\right) - 17 = 0   A estratégia com “problemas mais simples” sugerida em Krulik e Reys para o problema 1 é a da investigação da seguinte tabela:   Tamanho dos quadrados Tamanho do quadrado maior   De acordo com essa ou outras possíveis simplificações do problema 1, sua resposta correta seráImagem associada para resolução da questão
  1. A194.
  2. B196.
  3. C200.
  4. D204.
  5. E208.
Revelar gabarito e comentário

GabaritoD — 204.

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Resolução

Gabarito: letra D — a conta chega a 204 quadrados — alternativa D.

A ideia por trás

Contar quadrados em um tabuleiro é um problema clássico de contagem: precisamos somar a quantidade de quadrados de cada tamanho possível. Para um tabuleiro n×n, os tamanhos vão de 1 até n, e para cada tamanho k, o número de quadrados que cabem é (n - k + 1)². A soma desses valores dá o total.

A fórmula para o total é a soma dos quadrados perfeitos: 1² + 2² + ... + n². Isso porque, para cada tamanho k, há (n - k + 1)² quadrados. Por exemplo, em um tabuleiro 8×8, quadrados de lado 1 são 8² = 64, de lado 2 são 7² = 49, e assim por diante. A soma pode ser calculada pela fórmula fechada n(n+1)(2n+1)/6.

Esta questão pede exatamente essa soma para n = 8. A estratégia de simplificar é começar com tabuleiros menores e observar o padrão, mas aqui podemos aplicar diretamente a fórmula.

O que a questão dá

  • tabuleiro de 8 × 8

  • tamanhos possíveis de quadrados: de 1 até 8

O que queremos: o número total de quadrados de todos os tamanhos no tabuleiro 8×8

Passo 1 — Listar a quantidade de quadrados por tamanho

Para contar todos os quadrados, precisamos considerar cada tamanho separadamente. Em um tabuleiro 8×8, para um quadrado de lado k, ele pode ser posicionado em (8 - k + 1) posições horizontais e (8 - k + 1) verticais, totalizando (9 - k)² quadrados.

Por que esta fórmula: A fórmula (n - k + 1)² vem do princípio fundamental da contagem: para cada posição horizontal e vertical, há (n - k + 1) opções. Multiplicando, obtemos o número de quadrados de lado k.

Qk=(9−k)2Q_k = (9 - k)^{2}

De onde vem cada valor: 99 = constante: 8 + 1, pois n = 8 · kk = definição: tamanho do lado, de 1 a 8

Q1=(9−1)2=82=64=64 quadradosdelado1Q_1 = (9-1)^{2} = 8^{2} = 64 = \boxed{64\ \text{quadrados} \text{de} \text{lado} 1}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer que para k=1, o número é 8², não 8.

Passo 2 — Calcular para todos os tamanhos

Precisamos repetir o cálculo para cada tamanho de 1 a 8, pois cada um contribui com uma quantidade diferente. Somar essas quantidades dará o total.

Por que esta fórmula: A fórmula Q_k = (9 - k)² é aplicada para cada k. Isso gera a sequência 64, 49, 36, 25, 16, 9, 4, 1.

Qk=(9−k)2Q_k = (9 - k)^{2}

De onde vem cada valor: 99 = constante: 8 + 1 · kk = definição: cada valor de 1 a 8

Q2=72=49,Q3=62=36,Q4=52=25,Q5=42=16,Q6=32=9,Q7=22=4,Q8=12=1=64 ,49,36,25,16,9,4,1Q_2 = 7^{2} = 49, Q_3 = 6^{2} = 36, Q_4 = 5^{2} = 25, Q_5 = 4^{2} = 16, Q_6 = 3^{2} = 9, Q_7 = 2^{2} = 4, Q_8 = 1^{2} = 1 = \boxed{64\ , 49, 36, 25, 16, 9, 4, 1}
NÃO CAIA NESSA!

Confundir a ordem: para k=8, é 1², não 8².

Passo 3 — Somar todas as quantidades

O total de quadrados é a soma das quantidades de cada tamanho. Somar os valores obtidos no passo anterior dá o resultado final.

Por que esta fórmula: A soma dos quadrados perfeitos de 1 a 8 é a fórmula fechada n(n+1)(2n+1)/6, que evita somar termo a termo.

S=n(n+1)(2n+1)6S = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}

De onde vem cada valor: nn = enunciado: 8 (tamanho do tabuleiro)

S=8×9×176=204S = \frac{8 \times 9 \times 17}{6} = \boxed{204}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de somar o 1² final, resultando em 203.

Resposta: 204 quadrados — alternativa D

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