Questão de Raciocínio Lógico — Sequências de Números, Figuras, Letras e Palavras — VUNESP 2025

Sequências Numéricas: Aproximação do Número de Euler (e)

Gabarito: letra C. A sequência de cálculos na coluna C, dada por $C_n = \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n$, converge para o número de Euler $e \approx 2,71828$ à medida que $n$ cresce. Os valores da coluna A (1, 2, 3, 4, 6, 12, 365, 8760, 525600, 31536000) são justamente os expoentes $n$ que tornam a aproximação cada vez mais precisa, e é exatamente essa a definição clássica do número $e$.

A questão explora um dos limites fundamentais da matemática: $\lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n = e$. Esse limite é a definição do número de Euler, que é a base dos logaritmos naturais. A atividade proposta no livro de Giraldo, Caetano e Mattos tem como finalidade justamente mostrar, de forma prática e computacional, como essa sequência converge para $e$.

Vamos entender o que acontece em cada etapa da planilha:

1. Coluna A: contém valores crescentes de $n$: 1, 2, 3, 4, 6, 12, 365, 8760, 525600 e 31536000. Note que esses números não são aleatórios: 365 é o número de dias em um ano, 8760 é o número de horas em um ano (365 × 24), 525600 é o número de minutos em um ano (8760 × 60) e 31536000 é o número de segundos em um ano (525600 × 60). Essa escolha é proposital para mostrar que, mesmo com valores grandes, a sequência se aproxima de $e$.

1. Coluna B: para cada valor de $n$ na coluna A, calcula-se $B_n = 1 + \frac{1}{n}$. Por exemplo, para $n = 1$, $B_1 = 1 + 1 = 2$; para $n = 2$, $B_2 = 1 + 0,5 = 1,5$; para $n = 365$, $B_{365} = 1 + \frac{1}{365} \approx 1,00274$.

1. Coluna C: calcula-se $C_n = B_n^n = \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n$. É aqui que a mágica acontece. Vamos calcular alguns valores:

Observe que, conforme $n$ aumenta, o valor de $C_n$ se aproxima cada vez mais de $e \approx 2,71828$. Para $n = 31536000$ (o número de segundos em um ano), a aproximação já é precisa até a 5ª casa decimal.

A pegadinha desta questão está em reconhecer que a expressão $\left(1 + \frac{1}{n}\right)^n$ é a definição do número de Euler, e não de outra constante famosa. Vamos analisar cada alternativa para entender por que as outras estão incorretas.

Alternativa A — ❌ Incorreta

O número $\pi \approx 3,14159$ é a razão entre a circunferência de um círculo e seu diâmetro. A sequência $\left(1 + \frac{1}{n}\right)^n$ converge para aproximadamente 2,71828, que é menor que $\pi$. Não há relação entre essa expressão e o número $\pi$.

Alternativa B — ❌ Incorreta

O número $\sqrt{2} \approx 1,41421$ é a raiz quadrada de 2. A sequência converge para um valor maior que 2,718, portanto não pode ser uma aproximação de $\sqrt{2}$.

Alternativa C — ✅ Correta ⟵ GABARITO

A expressão $\left(1 + \frac{1}{n}\right)^n$ é a definição clássica do número de Euler $e$. O limite dessa expressão quando $n$ tende ao infinito é exatamente $e \approx 2,71828$. Os valores crescentes na coluna A fazem com que a sequência na coluna C se aproxime cada vez mais de $e$, demonstrando a convergência.

Alternativa D — ❌ Incorreta

A razão áurea, também conhecida como número de ouro, é aproximadamente 1,61803. Ela é definida pela proporção $\frac{a+b}{a} = \frac{a}{b}$, e não tem relação com a expressão $\left(1 + \frac{1}{n}\right)^n$.

Alternativa E — ❌ Incorreta

A sequência de Fibonacci é uma sequência de números onde cada termo é a soma dos dois anteriores (1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, ...). A razão entre termos consecutivos da sequência de Fibonacci tende à razão áurea, não ao número $e$. A expressão da coluna C não gera a sequência de Fibonacci.

Gabarito: letra C