Matemática · CESPE / CEBRASPE · 2019 | Questão sqc-ce113021

Análise Combinatória: Partição Ordenada

Gabarito: letra B (42). A questão pede a distribuição de 7 servidores em 3 funções distintas (coordenador, subcoordenador e 5 agentes operacionais), o que caracteriza uma partição ordenada de 7 elementos em subconjuntos de tamanhos 1, 1 e 5. O número de maneiras é dado pelo coeficiente multinomial $\binom{7}{1,1,5} = \frac{7!}{1! \cdot 1! \cdot 5!} = 42$ .

A Análise Combinatória estuda técnicas de contagem. Quando dividimos um conjunto de $n$ elementos em $k$ subconjuntos com tamanhos $n_1, n_2, \ldots, n_k$ (com $n_1 + n_2 + \cdots + n_k = n$ ), e a ordem entre esses subconjuntos é relevante (como aqui, onde as funções são distintas), temos uma partição ordenada. O número de partições ordenadas é dado pelo coeficiente multinomial:

\binom{n}{n_1, n_2, \ldots, n_k} = \frac{n!}{n_1! \, n_2! \, \cdots \, n_k!}

Nesta questão, temos $n = 7$ , $n_1 = 1$ (coordenador), $n_2 = 1$ (subcoordenador) e $n_3 = 5$ (agentes operacionais). Aplicando a fórmula:

\binom{7}{1,1,5} = \frac{7!}{1! \cdot 1! \cdot 5!} = \frac{5040}{1 \cdot 1 \cdot 120} = 42

A pegadinha da banca está em confundir essa partição ordenada com uma simples combinação (escolher 2 servidores para as funções de coordenação, ignorando a distinção entre coordenador e subcoordenador) ou com uma permutação completa (7! = 5040). Vamos analisar cada alternativa.

Distribuição de funções — só Coordenador: 7; só Subcoordenador: 6; Coordenador∩Subcoordenador: 42

Alternativa A — ❌ Incorreta

O valor 21 corresponde a $\binom{7}{2} = 21$ , ou seja, escolher 2 servidores para as funções de coordenação sem distinguir quem é coordenador e quem é subcoordenador. Mas o enunciado deixa claro que as funções são distintas, então a ordem importa. O correto é multiplicar por 2 (escolher o coordenador e depois o subcoordenador entre os restantes), resultando em 42.

Alternativa B — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Como calculado, o número de maneiras é $\binom{7}{1,1,5} = 42$ . Podemos também pensar pelo Princípio Fundamental da Contagem: escolhemos o coordenador (7 opções), depois o subcoordenador (6 opções) e os 5 agentes são os restantes (1 opção). Total: $7 \times 6 = 42$ .

Alternativa C — ❌ Incorreta

256 é $2^8$ , um valor que não corresponde a nenhuma contagem direta do problema. Provavelmente o candidato tentou usar potências sem base combinatória, mas não há repetição nem escolhas binárias aqui.

Alternativa D — ❌ Incorreta

862 não tem relação com o problema. É um distrator numérico sem fundamento combinatório.

Alternativa E — ❌ Incorreta

5040 é $7!$ , que seria o número de permutações de todos os 7 servidores em 7 posições distintas. Mas aqui temos apenas 3 funções (coordenador, subcoordenador e agentes), e os 5 agentes são indistinguíveis entre si (não há ordem entre eles). Por isso, dividimos por $5!$ , obtendo 42.

NÃO CAIA NESSA!

A banca explora a confusão entre partição ordenada e combinação simples. Se você escolher apenas 2 servidores para as funções de coordenação (ignorando a distinção entre coordenador e subcoordenador), obtém 21 (alternativa A). Se você permutar todos os 7 servidores, obtém 5040 (alternativa E). O segredo é perceber que as funções são distintas (coordenador ≠ subcoordenador) e que os agentes são indistinguíveis entre si. Sempre que houver funções diferentes, a ordem importa — use o coeficiente multinomial ou o PFC.

PEGA ESSA DICA!

Para resolver questões de partição ordenada, identifique:

Quantos grupos existem e quantos elementos cada um tem.
Se a ordem entre os grupos importa (funções distintas) ou não.
Aplique a fórmula $\frac{n!}{n_1! n_2! \cdots n_k!}$ quando a ordem importar.

Nesta questão, os grupos são: 1 coordenador, 1 subcoordenador e 5 agentes. Como as funções são distintas, a ordem entre os grupos importa, mas dentro do grupo de agentes não há ordem. Por isso, dividimos por $5!$ .

Gabarito: letra B