Questão de Estatística — Cálculo de Probabilidades — CESPE / CEBRASPE 2023
Estatística›Cálculo de Probabilidades
Código
ce160035
Banca
CESPE / CEBRASPE
Órgão
SEFIN de Fortaleza - CE
Ano
2023
Nível
Superior
Cargo
Analista Fazendário Municipal - Área de Conhecimento: Ciências Econômicas/Finanças
Um escritório de contabilidade fez estimativas do tempo gasto com a declaração de imposto de renda de seus clientes. Ao pegar uma amostra de 100 clientes, observou-se que o tempo médio de trabalho foi de 25,6 horas por declaração e que o desvio-padrão amostral foi de 5 horas.
A partir dessa situação hipotética e considerando que o tempo gasto com a declaração de imposto de um cliente seja normalmente distribuído, que Z é a variável normal padronizada e que Pr(Z < 1,96) = 0,975, julgue o item seguinte.
Caso o escritório decida estimar o tempo médio gasto com a declaração de imposto de renda de seus clientes, poderá fazê-lo por meio do teorema central do limite, o qual permite usar a distribuição qui-quadrado ( X2 ) para estimar a média da população a partir da média amostral.
CCerto
EErrado
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GabaritoE — Errado
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Teorema Central do Limite e a distribuição qui-quadrado
Gabarito: letra E (ERRADO). O Teorema Central do Limite (TCL) garante que a distribuição da média amostral se aproxima de uma distribuição normal (padrão) para amostras grandes, e não de uma distribuição qui-quadrado. A distribuição qui-quadrado é utilizada para inferências sobre a variância ou o desvio-padrão populacional, não sobre a média. Portanto, a afirmação de que o TCL permite usar a distribuição qui-quadrado para estimar a média está incorreta.
O Teorema Central do Limite é um dos pilares da inferência estatística. Ele afirma que, para uma amostra aleatória simples de tamanho suficientemente grande, a distribuição amostral da média se aproxima de uma distribuição normal, independentemente da distribuição da população de origem. Essa aproximação é tanto melhor quanto maior for o tamanho da amostra. Na prática, para a estimação da média populacional, quando o desvio-padrão populacional é conhecido, utiliza-se a distribuição normal padrão (Z); quando é desconhecido, utiliza-se a distribuição t de Student. A distribuição qui-quadrado, por sua vez, é usada em contextos diferentes, como na estimação da variância populacional ou em testes de independência e aderência.
A confusão entre as distribuições é uma armadilha clássica. O TCL não "escolhe" uma distribuição para a média; ele apenas garante a convergência para a normal. A escolha da distribuição para a inferência depende do parâmetro de interesse e do que se conhece sobre a população. Para a média, a distribuição é a normal (ou t de Student); para a variância, é a qui-quadrado. A questão mistura esses conceitos ao afirmar que o TCL permite usar a qui-quadrado para estimar a média, o que é um erro conceitual.
Inferência estatística: Média populacional (Desvio-padrão conhecido → normal (Z), Desvio-padrão desconhecido → t de Student); Variância populacional (Qui-quadrado (X²)); Teorema Central do Limite (Média amostral → normal, Não conduz à qui-quadrado)
Alternativa E — ❌ Incorreta ⟵ GABARITO
A afirmação está errada porque o Teorema Central do Limite estabelece que a distribuição da média amostral tende à distribuição normal, e não à qui-quadrado. A distribuição qui-quadrado é utilizada para inferências sobre a variância (ou desvio-padrão) de uma população normalmente distribuída, como na construção de intervalos de confiança para a variância ou em testes de hipóteses sobre a variância. Para a média, quando o desvio-padrão populacional é desconhecido (como no caso, em que se tem apenas o desvio-padrão amostral), a distribuição correta a ser utilizada é a t de Student, especialmente para amostras pequenas. Com uma amostra de 100 clientes, a aproximação pela normal também seria válida, mas nunca pela qui-quadrado.
NÃO CAIA NESSA!
A banca tenta confundir o candidato ao associar o Teorema Central do Limite à distribuição qui-quadrado. O TCL sempre conduz à distribuição normal para a média amostral. A qui-quadrado é reservada para a variância. Lembre-se: média → normal ou t de Student; variância → qui-quadrado. Essa distinção é fundamental para não cair nesse tipo de pegadinha.