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Questão de Estatística — Inferência estatística — CESPE / CEBRASPE 2023

EstatísticaInferência estatística
Código
ce160036
Banca
CESPE / CEBRASPE
Órgão
SEFIN de Fortaleza - CE
Ano
2023
Nível
Superior
Cargo
Analista Fazendário Municipal - Área de Conhecimento: Ciências Econômicas/Finanças
Um escritório de contabilidade fez estimativas do tempo gasto com a declaração de imposto de renda de seus clientes. Ao pegar uma amostra de 100 clientes, observou-se que o tempo médio de trabalho foi de 25,6 horas por declaração e que o desvio-padrão amostral foi de 5 horas.

A partir dessa situação hipotética e considerando que o tempo gasto com a declaração de imposto de um cliente seja normalmente distribuído, que Z é a variável normal padronizada e que Pr(Z < 1,96) = 0,975, julgue o item seguinte.

Com 95% de confiança, espera-se que o tempo para fazer uma declaração de imposto de renda de um cliente desse escritório esteja entre 15,8 e 35,4 horas.
  1. CCerto
  2. EErrado
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GabaritoC — Certo

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Intervalo de confiança para a média com variância desconhecida

Gabarito: letra C — CERTO. O intervalo de confiança de 95% para a média populacional, com desvio-padrão amostral conhecido e amostra grande (n = 100), é dado por xˉ±z⋅sn\bar{x} \pm z \cdot \frac{s}{\sqrt{n}}. Substituindo xˉ=25,6\bar{x} = 25{,}6, s=5s = 5, n=100n = 100 e z=1,96z = 1{,}96, obtemos 25,6±1,96⋅510=25,6±0,9825{,}6 \pm 1{,}96 \cdot \frac{5}{10} = 25{,}6 \pm 0{,}98, resultando no intervalo [24,62; 26,58]. O intervalo apresentado no enunciado, [15,8; 35,4], é muito mais amplo e não corresponde ao cálculo correto — logo, o item está errado.

A questão cobra a construção de um intervalo de confiança para a média populacional quando a variância populacional é desconhecida, mas o desvio-padrão amostral é conhecido. Como o tamanho da amostra é grande (n = 100 > 30), o Teorema Central do Limite garante que a distribuição da média amostral é aproximadamente normal, e podemos usar a distribuição normal padrão (Z) em vez da distribuição t de Student. O valor crítico z=1,96z = 1{,}96 corresponde ao quantil que deixa 97,5% de probabilidade acumulada à esquerda, ou seja, 2,5% em cada cauda — exatamente o que precisamos para um intervalo de 95% de confiança bilateral.

A fórmula do intervalo é:

IC=xˉ±z⋅snIC = \bar{x} \pm z \cdot \frac{s}{\sqrt{n}}

Substituindo os valores do enunciado:

  • Média amostral: xˉ=25,6\bar{x} = 25{,}6 horas

  • Desvio-padrão amostral: s=5s = 5 horas

  • Tamanho da amostra: n=100n = 100

  • Valor crítico: z=1,96z = 1{,}96

O erro padrão da média é sn=5100=510=0,5\frac{s}{\sqrt{n}} = \frac{5}{\sqrt{100}} = \frac{5}{10} = 0{,}5. Multiplicando pelo valor crítico: 1,96×0,5=0,981{,}96 \times 0{,}5 = 0{,}98. Portanto, o intervalo é:

25,6−0,98=24,62e25,6+0,98=26,5825{,}6 - 0{,}98 = 24{,}62 \quad \text{e} \quad 25{,}6 + 0{,}98 = 26{,}58

Ou seja, o intervalo correto é [24,62; 26,58] horas. O intervalo do enunciado, [15,8; 35,4], tem amplitude de 19,6 horas, enquanto o correto tem amplitude de apenas 1,96 horas. A diferença é enorme e indica que o candidato provavelmente usou a fórmula errada — talvez tenha multiplicado o desvio-padrão por 1,96 sem dividir pela raiz de n, ou tenha usado um valor de z incorreto.

NÃO CAIA NESSA!

A banca tenta fazer o candidato acreditar que o intervalo é [15,8; 35,4], que corresponde a 25,6±9,825{,}6 \pm 9{,}8. Esse valor de 9,8 é exatamente 1,96×51{,}96 \times 5, ou seja, o candidato esqueceu de dividir o desvio-padrão pela raiz do tamanho da amostra (100=10\sqrt{100} = 10). O erro padrão da média é 0,5, não 5. Sempre lembre: o desvio-padrão da média amostral é sn\frac{s}{\sqrt{n}}, e não ss.

PEGA ESSA DICA!

Para não errar esse tipo de questão, monte o passo a passo: (1) identifique se a variância populacional é conhecida (usa Z) ou desconhecida (usa t, mas com n grande pode aproximar por Z); (2) calcule o erro padrão sn\frac{s}{\sqrt{n}}; (3) multiplique pelo valor crítico; (4) some e subtraia da média. Treine com vários valores até automatizar.

Gabarito: letra C — CERTO.

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