Analista Fazendário Municipal - Área de Conhecimento: Engenharia Civil
Supondo que uma amostra aleatória simples de tamanho n = 100 tenha sido extraída de uma população normal com média desconhecida μ e variância σ² = 16 e sabendo que a média amostral foi igual a 5, e que P( Z ≤ 1,96) = 0,975 e P( Z ≤ 2,33) = 0,99, em que Z segue a distribuição normal padrão, julgue o próximo item. Com nível de significância igual a 2,5%, a hipótese nula do teste de hipóteses H₀ : μ ≤ 4,5 versus H₁ : μ > 4,5 deve ser rejeitada.
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GabaritoE — Errado
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Teste de hipóteses para a média com variância conhecida
Gabarito: letra E (ERRADO). Com nível de significância de 2,5% em um teste unilateral à direita (H₀: μ ≤ 4,5 vs H₁: μ > 4,5), o valor crítico é z = 1,96. A estatística de teste calculada é z = 1,25, que é menor que o valor crítico. Portanto, a estatística cai na região de aceitação e a hipótese nula não deve ser rejeitada.
O teste de hipóteses é um procedimento estatístico para decidir, com base em uma amostra, se uma afirmação sobre um parâmetro populacional (aqui, a média μ) deve ser aceita ou rejeitada. A hipótese nula (H₀) é a afirmação que queremos testar, e a hipótese alternativa (H₁) é a afirmação que aceitamos se rejeitarmos H₀. Neste caso, temos um teste unilateral à direita, pois a hipótese alternativa é H₁: μ > 4,5, indicando que suspeitamos que a média seja maior que 4,5.
Como a variância populacional (σ² = 16) é conhecida e a amostra é grande (n = 100), a estatística de teste segue uma distribuição normal padrão (Z). A estatística de teste é calculada como:
Substituindo os valores do enunciado (média amostral , média sob H₀ , desvio padrão populacional e tamanho da amostra ):
Para decidir, comparamos a estatística de teste com o valor crítico. Em um teste unilateral à direita com nível de significância α = 2,5%, o valor crítico é o valor de Z tal que P(Z > z_crítico) = 0,025. O enunciado fornece P(Z ≤ 1,96) = 0,975, o que implica P(Z > 1,96) = 1 - 0,975 = 0,025. Portanto, o valor crítico é z_crítico = 1,96.
A regra de decisão é: rejeitar H₀ se a estatística de teste for maior que o valor crítico. Como 1,25 < 1,96, a estatística de teste está na região de aceitação. Consequentemente, não rejeitamos H₀ ao nível de significância de 2,5%.
Alternativa C — ❌ Incorreta
A alternativa afirma que a hipótese nula deve ser rejeitada. Isso está errado, pois a estatística de teste (z = 1,25) é menor que o valor crítico (z = 1,96). A hipótese nula só seria rejeitada se a estatística de teste fosse maior que 1,96, o que não ocorre. O erro aqui é não calcular corretamente a estatística de teste ou confundir a região de rejeição.
Alternativa E — ✅ Correta ⟵ GABARITO
A alternativa afirma que a hipótese nula não deve ser rejeitada, o que está correto. Como demonstrado, a estatística de teste (z = 1,25) é menor que o valor crítico (z = 1,96), caindo na região de aceitação. Portanto, não há evidência estatística suficiente para rejeitar H₀ ao nível de significância de 2,5%.
NÃO CAIA NESSA!
A banca tenta confundir o candidato ao fornecer dois valores críticos (1,96 e 2,33). Para um nível de significância de 2,5% em teste unilateral, o valor correto é 1,96 (pois P(Z > 1,96) = 0,025). O valor 2,33 corresponderia a um nível de significância de 1% (P(Z > 2,33) = 0,01). Se o candidato usasse 2,33 como valor crítico, a estatística de teste (1,25) continuaria na região de aceitação, mas o raciocínio estaria errado. A pegadinha é usar o valor crítico errado e, mesmo assim, chegar à conclusão correta, o que pode gerar confusão.
PEGA ESSA DICA!
Para testes de hipóteses, sempre identifique:
O tipo de teste (unilateral à direita, unilateral à esquerda ou bilateral).
O nível de significância (α).
O valor crítico correspondente (use a tabela da normal padrão).
Calcule a estatística de teste.
Compare a estatística com o valor crítico e decida.
Em um teste unilateral à direita, a região de rejeição está na cauda direita da distribuição. Se a estatística de teste for maior que o valor crítico, rejeitamos H₀; caso contrário, não rejeitamos.