Questão de Matemática — Estatística — CESPE / CEBRASPE 2023

Estatística: Suficiência e Parâmetros

Gabarito: ❌ ERRADO. A média amostral não é uma estatística suficiente para a estimação do parâmetro $b$ nesta distribuição, pois a função de verossimilhança depende do valor mínimo da amostra ($X_{(1)}$), que não pode ser separado do parâmetro $b$ na fatoração de Neyman-Fisher.

Para verificar a suficiência de uma estatística $T$ para um parâmetro $\theta$, utilizamos o Critério da Fatoração de Neyman-Fisher. Segundo este critério, $T$ é suficiente se, e somente se, a função de verossimilhança $L(\theta)$ puder ser decomposta no produto de duas funções: $g(T, \theta)$, que depende apenas da estatística e do parâmetro, e $h(x_1, x_2, \dots, x_n)$, que não depende do parâmetro.

No caso da função de densidade dada:

A função de verossimilhança para uma amostra de tamanho $n$ é:

Onde $x_{(1)} = \min(x_1, \dots, x_n)$. Note que a função de verossimilhança depende de $b$ tanto através do termo $e^{2nb}$ quanto através da função indicadora $I(x_{(1)} \ge b)$. Como o valor mínimo da amostra ($X_{(1)}$) é indispensável para definir o suporte da distribuição e não pode ser isolado da dependência de $b$ na fatoração, a média amostral (que depende da soma $\sum X_i$) não captura toda a informação necessária sobre o parâmetro $b$. Portanto, a média amostral não é uma estatística suficiente.