Questão de Matemática — Análise Combinatória em Matemática — CESPE / CEBRASPE 2024

Análise Combinatória: Princípio Fundamental da Contagem

Gabarito: Errado (E). O número de códigos token possíveis é $10^6 = 1.000.000$, que é menor que 1,2 milhão. A afirmação de que há mais de 1,2 milhão de códigos possíveis está incorreta, pois o cálculo correto pelo Princípio Fundamental da Contagem (PFC) resulta em exatamente 1 milhão de possibilidades.

O problema envolve a contagem de sequências de seis dígitos, onde cada dígito pode ser qualquer um dos 10 algarismos (0 a 9), com repetição permitida. O Princípio Fundamental da Contagem (PFC) é a ferramenta central: se um evento pode ocorrer de $m_1$ maneiras, e outro de $m_2$ maneiras, e assim por diante, o total de maneiras de ambos ocorrerem sucessivamente é o produto $m_1 \times m_2 \times \dots \times m_n$. Aqui, cada uma das 6 posições do código tem 10 opções independentes, então o total é $10 \times 10 \times 10 \times 10 \times 10 \times 10 = 10^6 = 1.000.000$.

A pegadinha da banca está na comparação com o número 1,2 milhão. O candidato pode calcular corretamente 1 milhão, mas errar ao comparar com 1,2 milhão, ou pode tentar usar fórmulas de arranjo/combinação sem perceber que a repetição é permitida e a ordem importa (o que configura um arranjo com repetição, cuja fórmula é $AR_{n}^{r} = n^r$). A distinção crucial é: como a repetição é permitida, cada posição é independente, e o PFC resolve diretamente, sem necessidade de fórmulas mais complexas.

Alternativa C — ❌ Incorreta

A alternativa afirma que há mais de 1,2 milhão de códigos possíveis. O cálculo correto é $10^6 = 1.000.000$, que é menor que 1.200.000. Portanto, a afirmação é falsa.

Alternativa E — ✅ Correta ⟵ GABARITO

A alternativa está correta ao afirmar que a proposição é errada. O número total de códigos é $10^6 = 1.000.000$, que não ultrapassa 1,2 milhão. O erro da afirmação original está na comparação: 1 milhão é menor que 1,2 milhão.

Gabarito: letra E — a afirmação está errada, pois o total de códigos é 1.000.000, inferior a 1,2 milhão.