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Questão de Matemática — Probabilidade — CESPE / CEBRASPE 2024

MatemáticaProbabilidade
Código
ce192636
Banca
CESPE / CEBRASPE
Órgão
Prefeitura de Mossoró - RN
Ano
2024
Nível
Superior
Token, em inglês, significa ficha ou símbolo. Na área da tecnologia, o nome se refere a um dispositivo eletrônico ou sistema gerador de senhas bastante utilizado por bancos, os chamados códigos token. Considerando que um código token seja formado por seis dígitos escolhidos aleatoriamente entre os algarismos de 0 a 9 e que, nesse código, seja permitida a repetição de algarismos, julgue o item a seguir.A probabilidade de um código token ser formado por, pelo menos, dois dígitos repetidos é superior a 80%.
  1. CCerto
  2. EErrado
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GabaritoC — Certo

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Probabilidade: evento complementar e contagem com repetição

Gabarito: Certo (C). A probabilidade de um código token de seis dígitos (com repetição permitida) ter pelo menos dois dígitos repetidos é de 84,88%, valor superior a 80% — portanto, a afirmação está correta. O caminho mais rápido é calcular a probabilidade do evento complementar (todos os dígitos distintos) e subtrair de 1.

A questão mistura dois conceitos que costumam andar juntos em prova: análise combinatória (contagem de possibilidades) e probabilidade (razão entre casos favoráveis e casos possíveis). O ponto central é perceber que "pelo menos dois repetidos" é o complemento de "todos distintos". Em vez de somar os casos com exatamente 2, 3, 4, 5 ou 6 repetidos — o que seria trabalhoso —, calculamos o que não queremos e subtraímos de 100%.

Resolução passo a passo

1. Total de códigos possíveis (espaço amostral):

Cada um dos 6 dígitos pode ser qualquer algarismo de 0 a 9, com repetição permitida. Pelo princípio multiplicativo:

n(U)=10×10×10×10×10×10=106=1.000.000n(U) = 10 \times 10 \times 10 \times 10 \times 10 \times 10 = 10^6 = 1.000.000

2. Códigos com todos os dígitos distintos (evento complementar):

Aqui não pode haver repetição: o primeiro dígito tem 10 opções, o segundo 9, o terceiro 8, e assim por diante:

n(A)=10×9×8×7×6×5=151.200n(A) = 10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5 = 151.200

3. Probabilidade de todos distintos:

P(A)=151.2001.000.000=0,1512=15,12%P(A) = \frac{151.200}{1.000.000} = 0,1512 = 15,12\%

4. Probabilidade de pelo menos dois repetidos (evento complementar):

P(pelo menos 2 repetidos)=1−P(todos distintos)=1−0,1512=0,8488=84,88%P(\text{pelo menos 2 repetidos}) = 1 - P(\text{todos distintos}) = 1 - 0,1512 = 0,8488 = 84,88\%

Como 84,88% > 80%, a afirmação é verdadeira.

Caso

Atribuição (p = todos distintos; q = pelo menos 2 repetidos)

Resultado

1

p = V (15,12%)

q = F (pois q = ~p)

2

p = F (84,88%)

q = V (pois q = ~p)

NÃO CAIA NESSA!

A banca explora a inversão do complemento: o candidato pode calcular a probabilidade de "todos distintos" (15,12%) e, por engano, comparar esse número com 80%, concluindo que a afirmação é falsa. Mas o enunciado pede "pelo menos dois repetidos", que é exatamente o contrário de "todos distintos". Quando a questão diz "pelo menos um", "pelo menos dois", "no mínimo", o reflexo deve ser: calcular o complemento e subtrair de 1. Aqui, o complemento é pequeno (15,12%), então o evento pedido é grande (84,88%) — e a pegadinha está em trocar os dois.

PEGA ESSA DICA!

Em questões de probabilidade com "pelo menos X", sempre pergunte: "qual é o evento complementar?" Se o complemento for mais fácil de contar (como "todos distintos"), use P=1−P(complemento)P = 1 - P(\text{complemento}). Esse atalho evita somar vários casos e reduz o risco de erro. Treine identificar quando a contagem direta é inviável e o complemento resolve em uma linha.

Gabarito: Certo (C).

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