Pular para o conteúdo principal

Questão de Matemática — Aritmética e Problemas — CESPE / CEBRASPE 2025

MatemáticaAritmética e Problemas
Código
ce196948
Banca
CESPE / CEBRASPE
Órgão
CAU-MG
Ano
2025
Nível
Médio
Cargo
Assistente Administrativo e Financeiro
Acerca de proporcionalidade, julgue o item a seguir.A média geométrica dos números 9, 27 e 81 é superior à média aritmética simples desses mesmos números.
  1. CCerto
  2. EErrado
Revelar gabarito e comentário

GabaritoE — Errado

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Média geométrica e média aritmética: comparação

Gabarito: ❌ ERRADO. Para os números 9, 27 e 81, a média geométrica é 9⋅27⋅813=196833=27\sqrt[3]{9 \cdot 27 \cdot 81} = \sqrt[3]{19683} = 27, enquanto a média aritmética é 9+27+813=1173=39\frac{9+27+81}{3} = \frac{117}{3} = 39. Como 27 < 39, a média geométrica é inferior à aritmética, contrariando a afirmação do item.

A questão explora a desigualdade das médias: para números positivos, a média aritmética é sempre maior ou igual à média geométrica, que por sua vez é maior ou igual à média harmônica. A igualdade só ocorre quando todos os números são iguais. Como 9, 27 e 81 são distintos, a média aritmética será estritamente maior que a geométrica. A banca inverte essa relação, afirmando que a geométrica é superior — uma pegadinha clássica.

Vamos aos cálculos detalhados:

Média aritmética:

xˉ=9+27+813=1173=39\bar{x} = \frac{9 + 27 + 81}{3} = \frac{117}{3} = 39

Média geométrica:

G=9⋅27⋅813=196833=27G = \sqrt[3]{9 \cdot 27 \cdot 81} = \sqrt[3]{19683} = 27

Note que 9=329 = 3^2, 27=3327 = 3^3, 81=3481 = 3^4, então o produto é 32+3+4=393^{2+3+4} = 3^9, e a raiz cúbica é 33=273^3 = 27.

Comparando: 27<3927 < 39, logo a média geométrica é inferior à aritmética. O item está errado.

  1. 1Média aritmética = 39
  2. 2Média geométrica = 27
  3. 327 < 39 → item errado
LEVEL · soulevel.com.br
NÃO CAIA NESSA!

A banca inverte a relação correta entre as médias. Muitos candidatos lembram que a média geométrica é "menor ou igual" à aritmética, mas ao ver números em progressão geométrica (9, 27, 81), podem achar que a geométrica é maior. Na verdade, a desigualdade xˉ≥G≥H\bar{x} \ge G \ge H vale sempre para números positivos, com igualdade apenas se todos forem iguais. Aqui, como são distintos, a aritmética vence.

PEGA ESSA DICA!

Para comparar médias rapidamente, use a desigualdade das médias: Aritmeˊtica≥Geomeˊtrica≥Harmoˆnica\text{Aritmética} \ge \text{Geométrica} \ge \text{Harmônica}. Se os números forem todos iguais, há igualdade; caso contrário, a aritmética é estritamente maior. Isso evita calcular tudo na prova.

Gabarito: ❌ ERRADO.

Link permanente: /questoes/ce196948