Questão de Estatística — Modelos lineares — CESPE / CEBRASPE 2025

Teste de hipóteses sobre combinação linear de coeficientes na regressão múltipla

Gabarito: letra C (Certo). Para testar $H_0: \beta_1 + \beta_2 = 1$, a estatística do teste t é dada por $t = \frac{\hat{\beta}_1 + \hat{\beta}_2 - 1}{EP(\hat{\beta}_1 + \hat{\beta}_2)}$, em que o erro padrão da combinação linear é $EP(\hat{\beta}_1 + \hat{\beta}_2) = \sqrt{Var(\hat{\beta}_1) + Var(\hat{\beta}_2) + 2\,Cov(\hat{\beta}_1, \hat{\beta}_2)}$. Essa é a forma geral de testar qualquer combinação linear dos coeficientes, e a banca apenas omitiu a expressão completa, mas a estrutura apresentada está correta.

Em um modelo de regressão linear múltipla $y = \beta_0 + \beta_1 x_1 + \beta_2 x_2 + \dots + \beta_k x_k + \varepsilon$, sob as suposições clássicas (erros normais, independentes, homocedásticos), o vetor de estimadores $\hat{\boldsymbol{\beta}}$ segue distribuição normal multivariada com matriz de covariância $\sigma^2 (\mathbf{X}'\mathbf{X})^{-1}$. Para testar uma hipótese linear geral da forma $H_0: \mathbf{c}'\boldsymbol{\beta} = m$, a estatística de teste é:

No caso específico, $\mathbf{c}' = (0, 1, 1, 0, \dots, 0)$ e $m = 1$, resultando em:

O denominador é exatamente o erro padrão da combinação linear $\hat{\beta}_1 + \hat{\beta}_2$. A banca apresentou a estatística de forma genérica, com "XXX" no lugar da expressão, mas a estrutura descrita — numerador com a diferença entre a estimativa e o valor sob $H_0$, denominador com o erro padrão — é a correta. Portanto, o item está Certo.

Gabarito: letra C (Certo).