Estatística · CESPE / CEBRASPE · 2025 | Questão sqc-ce217904

EstatísticaModelos lineares

Código: ce217904
Banca: CESPE / CEBRASPE
Órgão: TJ-PA
Ano: 2025
Nível: Superior

Cargo: Analista Judiciário - Especialidade: Estatística

A respeito da inferência do modelo de regressão linear múltipla da forma y = β₀ + β₁x₁ +β₂x₂ +⋯+ β_kx_k + ε , julgue o item subsecutivo, considerando que valem as suposições clássicas, como linearidade nos parâmetros, independência entre observações, homoscedasticidade, normalidade e ausência de multicolinearidade perfeita.

A estatística t para testar H₀: β_j = 0 segue uma distribuição t de Student com n - 1 graus de liberdade.

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Teste t de Student na regressão linear múltipla

❌ ERRADO. A estatística t para testar $H_0: \beta_j = 0$ em um modelo de regressão linear múltipla segue uma distribuição t de Student com $n - k - 1$ graus de liberdade (em que $k$ é o número de variáveis explicativas), e não $n - 1$ . O erro está na contagem dos graus de liberdade: o denominador da estatística t é o erro padrão do estimador, que depende do quadrado médio dos resíduos, cujos graus de liberdade são $n - k - 1$ .

No modelo de regressão linear múltipla $y = \beta_0 + \beta_1 x_1 + \cdots + \beta_k x_k + \varepsilon$ , sob as suposições clássicas (erros normais, independentes, homocedásticos), o estimador de mínimos quadrados $\hat{\beta}_j$ é normalmente distribuído com média $\beta_j$ e variância que depende da variância do erro $\sigma^2$ e da matriz de covariâncias das variáveis explicativas. Como $\sigma^2$ é desconhecida, estima-se pelo quadrado médio do erro (QME), que tem $n - k - 1$ graus de liberdade. A estatística

t = \frac{\hat{\beta}_j - \beta_j}{s_{\hat{\beta}_j}}

segue distribuição t de Student com $n - k - 1$ graus de liberdade. No caso particular da regressão linear simples ( $k = 1$ ), os graus de liberdade são $n - 2$ , e não $n - 1$ . O valor $n - 1$ aparece em outros contextos, como no cálculo da variância amostral de uma única variável, mas não aqui.

A pegadinha da banca é justamente trocar o número de graus de liberdade: o candidato pode confundir com o $n - 1$ da variância amostral ou com o $n - 2$ da regressão simples, mas no modelo múltiplo o correto é $n - k - 1$ . É uma armadilha clássica de inversão de fórmula.

Graus de liberdade do teste t (H₀: βj = 0): Regressão múltipla (n − k − 1 (correto)); Regressão simples (k = 1) (n − 2); Variância amostral (contexto diverso) (n − 1)

Contexto	Graus de liberdade (gl)	Fórmula
Variância amostral de uma variável (teste t para média)	n − 1	s² = Σ(yᵢ − ȳ)² / (n − 1)
Regressão linear simples (k = 1)	n − 2	t = (β̂ⱼ − βⱼ) / s_{β̂ⱼ} com QME gl = n − 2
Regressão linear múltipla (k ≥ 2)	n − k − 1	t = (β̂ⱼ − βⱼ) / s_{β̂ⱼ} com QME gl = n − k − 1
Teste F global (todos os βⱼ = 0)	k e n − k − 1	F = (SQR/k) / (SQE/(n − k − 1))

NÃO CAIA NESSA!

A banca troca os graus de liberdade do teste t na regressão. O candidato que memorizou " $n-1$ " da variância amostral ou " $n-2$ " da regressão simples pode marcar certo, mas no modelo múltiplo o correto é $n-k-1$ . Fique atento: o denominador da estatística t é o erro padrão do coeficiente, que usa o QME com $n-k-1$ graus de liberdade. Com treino, você identifica essa troca na hora! 💪

Gabarito: letra E (ERRADO).

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Questão de Estatística — Modelos lineares — CESPE / CEBRASPE 2025

Teste t de Student na regressão linear múltipla