Questão de Matemática — Números Complexos — CESPE / CEBRASPE 2026

Números Complexos: representação no plano de Argand-Gauss

Gabarito: letra C. O ponto A está no segundo quadrante, a 30 cm da origem, e a reta forma 30° com o eixo imaginário. Isso significa que a parte real é negativa e a parte imaginária é positiva. Decompondo o módulo 30 nas direções dos eixos: a parte real (eixo x) vale $-30 \cdot \sin 30° = -15$ e a parte imaginária (eixo y) vale $30 \cdot \cos 30° = 15\sqrt{3}$. Portanto, o número complexo é $-15 + 15\sqrt{3}\,i$, que corresponde à alternativa C.

A questão combina dois conteúdos: a representação geométrica dos números complexos (plano de Argand-Gauss) e a trigonometria no triângulo retângulo. No plano complexo, o eixo horizontal é o eixo real (Re) e o vertical é o eixo imaginário (Im). Um número complexo $z = a + bi$ é representado pelo ponto $(a, b)$, chamado afixo. O módulo $|z|$ é a distância da origem ao afixo, e o argumento é o ângulo que o segmento forma com o eixo real.

Aqui está a pegadinha central: o ângulo dado é com o eixo imaginário, não com o eixo real. Se o aluno usar o ângulo com o eixo real, vai trocar seno e cosseno e errar a alternativa. Além disso, o ponto está no segundo quadrante, o que obriga a parte real a ser negativa — muitos candidatos esquecem o sinal e marcam a alternativa B.

Vamos montar o triângulo retângulo: a hipotenusa é o módulo (30 cm). O ângulo de 30° é formado entre a reta (hipotenusa) e o eixo imaginário (cateto vertical). Assim:

• O cateto adjacente ao ângulo de 30° é a projeção sobre o eixo imaginário (parte imaginária): $b = 30 \cdot \cos 30° = 30 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 15\sqrt{3}$.

• O cateto oposto ao ângulo de 30° é a projeção sobre o eixo real (parte real): $a = 30 \cdot \sin 30° = 30 \cdot \frac{1}{2} = 15$.

Como o ponto está no segundo quadrante, a parte real é negativa: $a = -15$. Logo, $z = -15 + 15\sqrt{3}\,i$.

Alternativa A — ❌ Incorreta

Apresenta $15\sqrt{3} + 15i$. Aqui o aluno usou o ângulo com o eixo real (trocou seno e cosseno) e não aplicou o sinal negativo da parte real. O resultado seria o afixo no primeiro quadrante, não no segundo. O erro é duplo: troca das razões trigonométricas e ausência do sinal negativo.

Alternativa B — ❌ Incorreta

Apresenta $15 + 15\sqrt{3}\,i$. Esta alternativa acerta as razões trigonométricas (parte real = 15, parte imaginária = $15\sqrt{3}$), mas esquece o sinal negativo da parte real. O ponto estaria no primeiro quadrante, contrariando o enunciado. É o distrator mais perigoso, pois só erra no sinal.

Alternativa C — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Apresenta $-15 + 15\sqrt{3}\,i$. Corresponde exatamente ao cálculo: parte real negativa (segundo quadrante) e parte imaginária positiva, com os valores corretos das projeções. É a única alternativa que respeita o quadrante e as razões trigonométricas.

Alternativa D — ❌ Incorreta

Apresenta $-15 + 15\sqrt{3}$. O erro está na parte imaginária: escreve $15\sqrt{3}$ sem o $i$, o que não representa um número complexo na forma $a + bi$ (a parte imaginária deve ser multiplicada pela unidade imaginária). Além disso, o valor numérico da parte imaginária está correto, mas a notação está errada.

Alternativa E — ❌ Incorreta

Apresenta $15 - 15\sqrt{3}\,i$. Aqui o sinal da parte imaginária está negativo, o que colocaria o ponto no quarto quadrante (parte real positiva, parte imaginária negativa). Além disso, a parte real deveria ser negativa. O erro é duplo: sinais trocados nos dois componentes.

Gabarito: letra C