Questão de Matemática — Funções — CESPE / CEBRASPE 2026

Função inversa e logaritmos: resolvendo f⁻¹(−2)

Gabarito: letra B. Para encontrar $f^{-1}(-2)$, basta resolver a equação $f(x) = -2$, ou seja, $2^x - 2^{-x} = -2$. Fazendo a substituição $y = 2^x$, obtemos uma equação do segundo grau em $y$; a solução positiva é $y = \sqrt{2} - 1$, e como $y = 2^x$, aplicando logaritmo na base 2 dos dois lados, chegamos a $x = \log_2(\sqrt{2} - 1)$.

O conceito central aqui é a função inversa: se $f$ é bijetora, então $f^{-1}(a)$ é o valor de $x$ tal que $f(x) = a$. Em vez de tentar isolar $x$ na expressão original (o que é trabalhoso por causa do expoente negativo), a substituição $y = 2^x$ transforma a equação exponencial em uma equação polinomial do segundo grau, que sabemos resolver. Essa é a técnica padrão para funções do tipo $f(x) = a^x \pm a^{-x}$.

A pegadinha da banca está em dois pontos: primeiro, o candidato pode tentar inverter a função algebricamente e se perder; segundo, ao resolver a equação do segundo grau, aparecem duas raízes, mas apenas a positiva é válida, pois $y = 2^x > 0$ para todo $x$ real. As alternativas C e E apresentam logaritmos de números negativos, que não existem no conjunto dos números reais — um forte indicativo de que são distratores.

Alternativa A — ❌ Incorreta

O valor 0 não satisfaz a equação. Se $x = 0$, então $f(0) = 2^0 - 2^0 = 1 - 1 = 0$, e não $-2$. A banca coloca o zero como um valor "intuitivo" para quem não sabe por onde começar, mas ele não resolve o problema.

Alternativa B — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Resolvendo $2^x - 2^{-x} = -2$:

1. Multiplicando toda a equação por $2^x$ (que é sempre positivo, então não altera o sentido da igualdade): $2^{2x} - 1 = -2 \cdot 2^x$.

2. Rearranjando: $2^{2x} + 2 \cdot 2^x - 1 = 0$.

3. Fazendo $y = 2^x$, temos $y^2 + 2y - 1 = 0$.

4. Pela fórmula de Bhaskara: $y = \frac{-2 \pm \sqrt{4 + 4}}{2} = \frac{-2 \pm 2\sqrt{2}}{2} = -1 \pm \sqrt{2}$.

5. Como $y = 2^x > 0$, descartamos a raiz negativa $-1 - \sqrt{2}$ e ficamos com $y = \sqrt{2} - 1$.

6. Portanto, $2^x = \sqrt{2} - 1$, e aplicando logaritmo na base 2: $x = \log_2(\sqrt{2} - 1)$.

Alternativa C — ❌ Incorreta

$\log_2(1 - \sqrt{2})$ não está definido nos reais, pois $1 - \sqrt{2} < 0$. O logaritmo só existe para argumentos positivos. Essa alternativa é um distrator que explora o erro de escolher a raiz negativa da equação do segundo grau sem verificar a condição de existência.

Alternativa D — ❌ Incorreta

$\log_2(\sqrt{2} + 1)$ seria o resultado se a equação fosse $2^x - 2^{-x} = 2$ (com sinal trocado). De fato, resolvendo $2^x - 2^{-x} = 2$, chegaríamos a $y = 1 + \sqrt{2}$. A banca troca o sinal do termo independente para gerar esse distrator.

Alternativa E — ❌ Incorreta

$\log_2(-\sqrt{2} - 1)$ também não está definido nos reais, pois o argumento é negativo. É outra alternativa que explora a raiz negativa da equação do segundo grau, mas com o sinal errado.

Gabarito: letra B