Questão de Matemática — Análise Combinatória em Matemática — CESPE / CEBRASPE 2026

Resolução

Gabarito: letra C — a conta chega a 233 (alternativa C).

A ideia por trás

Este problema é um clássico de análise combinatória que, à primeira vista, parece exigir a contagem de todas as sequências possíveis de 1s e 2s que somam 12. No entanto, a forma mais elegante e direta de resolver é perceber que o número de maneiras de chegar ao degrau n é a soma das maneiras de chegar ao degrau n-1 (dando um passo de 1) e ao degrau n-2 (dando um passo de 2). Isso gera a sequência de Fibonacci, onde cada termo é a soma dos dois anteriores. Essa abordagem evita a necessidade de enumerar todas as combinações, que seriam muitas. A sequência começa com f(1) = 1 (um único passo de 1) e f(2) = 2 (dois passos de 1, ou um passo de 2). A partir daí, cada termo é a soma dos dois anteriores: f(3) = 3, f(4) = 5, f(5) = 8, f(6) = 13, f(7) = 21, f(8) = 34, f(9) = 55, f(10) = 89, f(11) = 144 e, finalmente, f(12) = 233. Portanto, a criança tem 233 maneiras distintas de subir a escada. A pegadinha da banca está em tentar resolver o problema por métodos mais diretos, como permutações ou combinações, que não se aplicam diretamente aqui. O candidato pode ser tentado a calcular 12! (alternativa A), que é o número de permutações de 12 elementos, ou a usar uma fórmula de combinação que não captura a natureza sequencial do problema. A chave é reconhecer a recorrência de Fibonacci.

O que a questão dá

• escada com 12 degraus

• passos de 1 ou 2 degraus por vez

O que queremos: o número de formas distintas de subir a escada

Passo 1 — Entender o problema como sequência de passos

Precisamos modelar o problema: cada subida é uma sequência de 1s e 2s que somam 12. Por exemplo, 1+1+...+1 (doze vezes) ou 2+2+...+2 (seis vezes) ou misturas. A ordem importa, pois subir 1 e depois 2 é diferente de subir 2 e depois 1.

Passo 2 — Definir a recorrência para o número de maneiras

Para chegar ao degrau n, o último passo pode ser de 1 degrau (vindo do degrau n-1) ou de 2 degraus (vindo do degrau n-2). Portanto, o total de maneiras para n é a soma das maneiras para n-1 e n-2. Essa é a ideia central da sequência de Fibonacci.

Por que esta fórmula: Esta é a relação de recorrência que define o problema: f(n) = f(n-1) + f(n-2). Ela é adequada porque cada subida termina com um passo de 1 ou de 2, e esses dois casos são mutuamente exclusivos e exaustivos.

De onde vem cada valor: $f(n)$ = número de maneiras de subir n degraus · $f(n-1)$ = maneiras de subir n-1 degraus (último passo de 1) · $f(n-2)$ = maneiras de subir n-2 degraus (último passo de 2)

Passo 3 — Estabelecer os casos iniciais

A recorrência precisa de valores iniciais para começar. Para 1 degrau, só há uma maneira (um passo de 1). Para 2 degraus, há duas maneiras: dois passos de 1 ou um passo de 2. Esses são os pontos de partida da sequência.

De onde vem cada valor: $f(1)$ = enunciado: 1 degrau, só um passo de 1 · $f(2)$ = enunciado: 2 degraus, dois passos de 1 ou um de 2

f(1)=1, f(2)=2

Passo 4 — Calcular os termos até o 12º

Agora aplicamos a recorrência sucessivamente para obter f(3), f(4), ..., f(12). Cada termo é a soma dos dois anteriores, então vamos construindo a sequência passo a passo.

Por que esta fórmula: Usamos a recorrência f(n) = f(n-1) + f(n-2) para cada n de 3 a 12.

De onde vem cada valor: $f(2)$ = passo 3: 2 · $f(1)$ = passo 3: 1

Passo 5 — Continuar a sequência até f(12)

Precisamos do valor para 12 degraus, então continuamos aplicando a recorrência até chegar em f(12).

Por que esta fórmula: Mesma recorrência, agora para n=4 até 12.

De onde vem cada valor: $f(3)$ = passo 4: 3 · $f(2)$ = passo 3: 2

Passo 6 — Calcular f(5) e f(6)

Continuamos a sequência para chegar mais perto do 12º termo.

Por que esta fórmula: Aplicação direta da recorrência.

De onde vem cada valor: $f(4)$ = passo 5: 5 · $f(3)$ = passo 4: 3

Passo 7 — Calcular f(7) e f(8)

Continuamos a sequência.

Por que esta fórmula: Aplicação da recorrência.

De onde vem cada valor: $f(5)$ = passo 6: 8 · $f(4)$ = passo 5: 5

Passo 8 — Calcular f(9) a f(12)

Agora calculamos os termos restantes até f(12), que é o que queremos.

Por que esta fórmula: Aplicação sucessiva da recorrência.

De onde vem cada valor: $f(6)$ = passo 7: 13 · $f(5)$ = passo 6: 8

Resposta: 233 (alternativa C)