Questão de Matemática — Geometria Analítica — CESPE / CEBRASPE 2026

Planos paralelos e distância entre planos

Gabarito: letra B. Dois planos são paralelos quando seus vetores normais são múltiplos escalares entre si; a distância entre eles é calculada pela fórmula $d = \frac{|D_2 - D_1|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}$, usando os coeficientes da equação geral $ax + by + cz + D = 0$. Aplicando isso ao plano $P_1: 2x + y + 2z = 2$ (que pode ser escrito como $2x + y + 2z - 2 = 0$), o plano procurado deve ter vetor normal paralelo a $(2, 1, 2)$ e distância 5. A alternativa B, $-4x - 2y - 4z = 26$, tem vetor normal $(-4, -2, -4) = -2 \cdot (2, 1, 2)$, portanto é paralela a $P_1$, e a distância calculada é exatamente 5.

Para resolver, primeiro identificamos o vetor normal de $P_1$: os coeficientes de $x$, $y$ e $z$ na equação geral formam o vetor normal. No caso, $\vec{n}_1 = (2, 1, 2)$. Um plano paralelo a $P_1$ deve ter vetor normal paralelo a $\vec{n}_1$, ou seja, da forma $k \cdot (2, 1, 2)$. A distância entre dois planos paralelos $ax + by + cz + D_1 = 0$ e $ax + by + cz + D_2 = 0$ é dada por $d = \frac{|D_2 - D_1|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}$. Precisamos encontrar um plano cuja distância até $P_1$ seja 5.

Vamos testar a alternativa B. A equação $-4x - 2y - 4z = 26$ pode ser reescrita como $-4x - 2y - 4z - 26 = 0$. O vetor normal é $(-4, -2, -4)$, que é paralelo a $(2, 1, 2)$ (pois $(-4, -2, -4) = -2 \cdot (2, 1, 2)$). Para usar a fórmula da distância, precisamos que os coeficientes de $x$, $y$, $z$ sejam os mesmos nos dois planos. Podemos multiplicar a equação de $P_1$ por $-2$: $-4x - 2y - 4z = -4$. Assim, $P_1$ fica $-4x - 2y - 4z + 4 = 0$ e o plano B fica $-4x - 2y - 4z - 26 = 0$. A distância é $d = \frac{|4 - (-26)|}{\sqrt{(-4)^2 + (-2)^2 + (-4)^2}} = \frac{|30|}{\sqrt{16 + 4 + 16}} = \frac{30}{\sqrt{36}} = \frac{30}{6} = 5$. Portanto, a alternativa B está correta.

Alternativa A — ❌ Incorreta

A equação $2x - 2y - z = 7$ tem vetor normal $(2, -2, -1)$, que não é paralelo a $(2, 1, 2)$ — não existe escalar $k$ tal que $(2, -2, -1) = k(2, 1, 2)$. Logo, o plano não é paralelo a $P_1$, e a distância nem se aplica.

Alternativa B — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Como demonstrado, o vetor normal $(-4, -2, -4)$ é paralelo ao de $P_1$, e a distância entre os planos é exatamente 5. A equação pode ser simplificada dividindo por $-2$: $2x + y + 2z = -13$, que é paralela a $P_1$ e está a 5 unidades de distância.

Alternativa C — ❌ Incorreta

A equação $x - z = -3$ tem vetor normal $(1, 0, -1)$, que não é paralelo a $(2, 1, 2)$. Portanto, o plano não é paralelo a $P_1$.

Alternativa D — ❌ Incorreta

A equação $2x + y + 2z = 2$ é exatamente o plano $P_1$ dado no enunciado. A distância entre um plano e ele mesmo é 0, não 5.

Alternativa E — ❌ Incorreta

A equação $4x + 2y + 4z = -6$ tem vetor normal $(4, 2, 4) = 2 \cdot (2, 1, 2)$, portanto é paralela a $P_1$. Porém, a distância é $d = \frac{|2 - (-6)|}{\sqrt{4^2 + 2^2 + 4^2}} = \frac{8}{\sqrt{36}} = \frac{8}{6} = \frac{4}{3}$, que não é 5. O erro está no termo independente: para distância 5, o termo independente deveria ser $2 \pm 5 \cdot 3 = 2 \pm 15$, ou seja, 17 ou $-13$. A alternativa E tem termo $-6$, que não satisfaz.

Gabarito: letra B