Questão de Matemática — Aritmética e Problemas — CESPE / CEBRASPE 2026

MMC e o encontro de faróis girantes

Gabarito: letra D (252 segundos). O menor tempo em que os dois faróis apontarão novamente na mesma direção é o mínimo múltiplo comum (MMC) entre os períodos de rotação de cada um: MMC(36, 21) = 252. Esse é o clássico problema de "encontro periódico" — quando dois ciclos se repetem, o instante em que ambos coincidem é o MMC dos períodos.

A ideia central é simples: o farol A completa uma volta a cada 36 s, e o farol B a cada 21 s. Para que ambos estejam apontando na mesma direção novamente, o tempo decorrido deve ser um múltiplo de 36 (pois A terá dado um número inteiro de voltas) e também um múltiplo de 21 (pois B terá dado um número inteiro de voltas). O menor tempo que satisfaz as duas condições simultaneamente é, por definição, o mínimo múltiplo comum entre 36 e 21.

Vamos calcular o MMC:

• Fatoração de 36: $36 = 2^2 \times 3^2$

• Fatoração de 21: $21 = 3 \times 7$

• MMC = $2^2 \times 3^2 \times 7 = 4 \times 9 \times 7 = 252$

Portanto, após 252 segundos, o farol A terá dado $252/36 = 7$ voltas completas e o farol B terá dado $252/21 = 12$ voltas completas. Ambos estarão exatamente na posição inicial, apontando na mesma direção.

A pegadinha da banca está em confundir o MMC com o MDC (máximo divisor comum) ou com a simples soma dos períodos. O MDC(36, 21) = 3, que não tem relação com o encontro. A soma 36 + 21 = 57 é um distrator clássico para quem não entende o conceito de periodicidade.

Alternativa A — ❌ Incorreta

57 segundos é a soma dos períodos (36 + 21). Esse valor não é múltiplo de 36 nem de 21, portanto não representa um instante em que ambos completaram um número inteiro de voltas. É o distrator mais óbvio para quem apenas soma os tempos sem pensar no conceito de múltiplo comum.

Alternativa B — ❌ Incorreta

84 segundos é um múltiplo de 21 (84 = 4 × 21), mas não é múltiplo de 36 (84 ÷ 36 = 2,33...). Nesse instante, o farol B teria dado 4 voltas completas, mas o farol A estaria em uma posição intermediária (2 voltas e 1/3), portanto não estariam apontando na mesma direção. É um distrator que testa se o candidato verifica a condição para ambos os faróis.

Alternativa C — ❌ Incorreta

126 segundos é múltiplo de 21 (126 = 6 × 21), mas não é múltiplo de 36 (126 ÷ 36 = 3,5). O farol B daria 6 voltas completas, mas o farol A estaria na metade de uma volta (3 voltas e meia), apontando na direção oposta à inicial. Novamente, falta a condição de múltiplo comum.

Alternativa D — ✅ Correta ⟵ GABARITO

252 segundos é o mínimo múltiplo comum entre 36 e 21. Como calculado: $MMC(36, 21) = 2^2 \times 3^2 \times 7 = 252$. Nesse tempo, o farol A completa exatamente 7 voltas (252 ÷ 36 = 7) e o farol B completa exatamente 12 voltas (252 ÷ 21 = 12). Ambos retornam à posição inicial simultaneamente, apontando na mesma direção. É o menor tempo possível, pois qualquer múltiplo comum menor que 252 não existe — 252 é o mínimo.

Alternativa E — ❌ Incorreta

756 segundos é um múltiplo comum de 36 e 21 (756 = 21 × 36), mas não é o menor. Ele é o produto dos dois números, que é um múltiplo comum, porém não o mínimo. O candidato que multiplica 36 × 21 = 756 sem fatorar e extrair o MMC cai nesse distrator. O MMC é sempre menor ou igual ao produto dos números, sendo igual apenas quando os números são primos entre si (o que não é o caso, pois ambos são divisíveis por 3).

Gabarito: letra D