GabaritoA — 8.
Gabarito: letra A. O menor número possível de alunos que visitaram tanto o museu quanto o planetário é 8, obtido pela aplicação do princípio da inclusão-exclusão: total de alunos = visitantes do museu + visitantes do planetário - visitantes de ambos. Como o total de alunos é 20, queremos minimizar a interseção, o que ocorre quando a união é máxima (20). Assim, 20 = 13 + 15 - interseção → interseção = 8.
Seja M = conjunto dos alunos que visitaram o museu (|M| = 13).
Seja P = conjunto dos alunos que visitaram o planetário (|P| = 15).
Total de alunos = 20.
O número de alunos que visitaram pelo menos um dos locais é |M ∪ P| = |M| + |P| - |M ∩ P|.
Para minimizar |M ∩ P|, fazemos |M ∪ P| ser o maior possível, ou seja, 20 (todos os alunos visitaram pelo menos um).
Então: 20 = 13 + 15 - |M ∩ P| ⇒ |M ∩ P| = 8.
Portanto, o menor número de alunos que visitaram ambos é 8. As demais alternativas são incorretas.
Como demonstrado, 8 é o valor mínimo possível para a interseção, atendendo à condição de que a união não ultrapasse 20 alunos.
7 não é o mínimo, pois 13 + 15 - 7 = 21, que excede o total de 20 alunos. Não é possível que exatamente 7 alunos tenham visitado ambos, pois isso forçaria a união a ser maior que o conjunto universo.
5 também não é mínimo; 13 + 15 - 5 = 23 > 20, o que é impossível. A interseção deve ser no mínimo 8 para que a união não ultrapasse 20.
2 leva a uma união de 26, muito acima do total de alunos. Não satisfaz a condição de que todos os alunos estão no universo.
0 implicaria que nenhum aluno visitou ambos, resultando em união de 28 > 20. Impossível.
O aluno pode calcular a interseção máxima (13, o menor entre os dois conjuntos) ou fazer uma média, em vez de aplicar a inclusão-exclusão para o mínimo. Lembre-se: para minimizar a interseção, maximize a união (até o total).
A visualização com diagrama de Venn ajuda a entender:
{"tipo":"venn2","rotulo_a":"Museu","rotulo_b":"Planetário","so_a":5,"inter":8,"so_b":7,"fora":0}Gabarito: letra A
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