GabaritoC — 11.100.712/9.990.000
Gabarito: letra C. O número 1,1111823823... é uma dízima periódica composta, com parte inteira 1, anteperíodo "111" e período "823". Aplicando a técnica da geratriz — subtrair o número formado até o fim do anteperíodo do número formado até o fim do período, sobre um denominador com tantos 9 quantos os algarismos do período e tantos 0 quantos os do anteperíodo — obtemos exatamente a fração 11.100.712/9.990.000.
Uma dízima periódica é um número decimal com infinitas casas decimais que se repetem em um padrão, chamado período. Quando existem algarismos entre a vírgula e o início do período, esses algarismos formam o anteperíodo, e a dízima é classificada como composta. No número dado, temos:
Parte inteira: 1
Anteperíodo: 111 (três algarismos)
Período: 823 (três algarismos)
A regra para encontrar a fração geratriz de uma dízima composta é:
Formar o número com todos os algarismos até o fim do período (parte inteira + anteperíodo + período): 1111823.
Subtrair desse número o valor formado pela parte inteira + anteperíodo: 1111.
O denominador terá tantos 9 quanto o número de algarismos do período (3) e tantos 0 quanto o número de algarismos do anteperíodo (3): 999000.
Assim, a fração geratriz é (1111823 − 1111) / 999000 = 1110712 / 999000. Para igualar ao denominador das alternativas (9.990.000), multiplicamos numerador e denominador por 10, obtendo 11.100.712 / 9.990.000, que corresponde à alternativa C.
A pegadinha clássica desta questão é confundir a dízima composta com uma dízima simples, tratando todo o bloco "1111823" como período. Se o candidato fizer isso, obterá uma fração diferente, como nas alternativas A ou E. Outra armadilha é errar na contagem dos algarismos do anteperíodo e do período, o que altera o número de 9s e 0s no denominador.
O numerador 11.111.823 corresponde a considerar o número inteiro 11111823 como se todo ele fosse período, sem subtrair o anteperíodo. Isso resultaria em uma dízima simples, o que não é o caso. O correto é subtrair 1111 (parte inteira + anteperíodo) de 1111823, obtendo 1110712, e não 11111823.
O numerador 11.099.889 não corresponde a nenhuma operação correta da geratriz. Provavelmente o candidato subtraiu valores incorretos ou errou na contagem dos algarismos. A diferença correta é 1111823 − 1111 = 1110712, que multiplicado por 10 resulta em 11.100.712, não 11.099.889.
A fração 11.100.712/9.990.000 é exatamente a geratriz da dízima 1,1111823823... . O numerador 11.100.712 é o resultado de (1111823 − 1111) × 10, e o denominador 9.990.000 é 999000 × 10. A multiplicação por 10 é necessária para ajustar o denominador ao padrão das alternativas, mas não altera o valor da fração.
O denominador 999.999 sugere que o candidato tratou a dízima como se tivesse um período de seis algarismos (182382), o que não é verdade. O período é "823", com apenas três algarismos, e o anteperíodo é "111". Além disso, o numerador 1.823.823 não corresponde à subtração correta.
O numerador 11.111.823 é o mesmo da alternativa A, indicando o mesmo erro de não subtrair o anteperíodo. O denominador 9.999.999 também está incorreto, pois deveria ter três 9s e três 0s (999000), não seis 9s. Essa alternativa confunde a dízima composta com uma dízima simples de período longo.
Gabarito: letra C
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