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Questão de Matemática — Análise Combinatória em Matemática — CESPE / CEBRASPE 2026

MatemáticaAnálise Combinatória em Matemática
Código
ce232210
Banca
CESPE / CEBRASPE
Órgão
SEDUC-SE
Ano
2026
Nível
Superior
Se uma professora sortear 4 de seus 20 alunos para uma visita a um museu, a quantidade de maneiras que a seleção poderá ser feita sem que os alunos A e B participem juntos do passeio será igual a
  1. A1.632.
  2. B4.845.
  3. C4.692.
  4. D3.876.
  5. E3.060.
Revelar gabarito e comentário

GabaritoC — 4.692.

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Resolução

Gabarito: letra C — a conta chega a 4692 (alternativa C).

A ideia por trás

A combinação simples conta de quantas maneiras podemos escolher um grupo de elementos de um conjunto maior, sem nos importar com a ordem. Por exemplo, escolher 4 alunos entre 20 para uma visita é uma combinação, pois a ordem em que são escolhidos não importa. A fórmula é C(n,p) = n! / (p! (n-p)!), onde n é o total de elementos e p é o tamanho do grupo. Quando há uma restrição, como 'A e B não podem ficar juntos', uma estratégia eficiente é calcular o total de combinações sem restrição e subtrair as combinações que violam a condição. Nesta questão, precisamos calcular o total de grupos de 4 entre 20, depois subtrair os grupos que contêm A e B juntos, pois esses não são permitidos.

O que a questão dá

  • total de alunos = 20

  • alunos sorteados = 4

  • alunos A e B não podem participar juntos

O que queremos: o número de maneiras de sortear 4 alunos sem que A e B estejam juntos

Passo 1 — Calcular o total de combinações de 4 entre 20

Primeiro, precisamos saber quantas maneiras existem de escolher 4 alunos entre 20 sem nenhuma restrição. Isso é uma combinação simples, pois a ordem não importa. A fórmula C(n,p) = n! / (p! (n-p)!) nos dá o número de grupos possíveis.

Por que esta fórmula: Usamos combinação, e não arranjo, porque a ordem dos alunos no grupo não importa: escolher {A, B, C, D} é o mesmo que {D, C, B, A}.

C20,4=20!4!⋅16!C_{20{,}4} = \frac{20!}{4! \cdot 16!}

De onde vem cada valor: 2020 = enunciado: total de alunos · 44 = enunciado: alunos sorteados

C20,4=20×19×18×174×3×2×1=4845C_{20{,}4} = \frac{20 \times 19 \times 18 \times 17}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = \boxed{4845}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de simplificar o fatorial e tentar calcular 20! diretamente, o que é inviável. Use a forma expandida.

Passo 2 — Calcular as combinações com A e B juntos

Agora precisamos contar quantos grupos incluem A e B juntos, pois esses são os casos proibidos. Se A e B já estão no grupo, restam 2 vagas para preencher com os outros 18 alunos.

Por que esta fórmula: Como A e B já estão escolhidos, precisamos escolher 2 alunos entre os 18 restantes. Isso é uma combinação de 18 tomados 2 a 2.

C18,2=18!2!⋅16!C_{18{,}2} = \frac{18!}{2! \cdot 16!}

De onde vem cada valor: 1818 = enunciado: 20 alunos menos A e B · 22 = enunciado: vagas restantes após A e B

C18,2=18×172×1=153C_{18{,}2} = \frac{18 \times 17}{2 \times 1} = \boxed{153}
NÃO CAIA NESSA!

Usar C_{18,4} em vez de C_{18,2}, pensando que A e B não participam, mas aqui eles participam juntos.

Passo 3 — Subtrair os casos proibidos do total

Para obter os grupos em que A e B não estão juntos, subtraímos do total os grupos em que eles estão juntos. Isso é a técnica do 'total menos o que não serve'.

Por que esta fórmula: A subtração é direta: total de grupos possíveis menos os grupos que violam a condição.

4845−1534845 - 153

De onde vem cada valor: 48454845 = passo 1 · 153153 = passo 2

4845−153=46924845 - 153 = \boxed{4692}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de subtrair e marcar a alternativa B (4845).

Resposta: 4692 (alternativa C)

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