GabaritoC — 0,17647058823529411764...
Gabarito: letra C — a conta chega a C) 0,17647058823529411764... — é uma dízima periódica (período 1764705882352941)..
Números racionais são aqueles que podem ser escritos como fração de dois inteiros. Quando escritos na forma decimal, eles sempre resultam em decimal exato (finito) ou em dízima periódica (infinita com um bloco que se repete). Já os números irracionais têm representação decimal infinita e não periódica, ou seja, nunca formam um padrão repetitivo. A chave para distinguir é procurar um período: se houver um bloco de algarismos que se repete indefinidamente, é racional; se não houver, é irracional. Nesta questão, precisamos analisar cada alternativa e ver qual apresenta um padrão de repetição.
alternativas A a E com representações decimais
O que queremos: identificar qual número é uma dízima periódica (representação decimal inexata periódica)
Antes de analisar as alternativas, precisamos saber exatamente o que procurar: uma dízima periódica é uma representação decimal infinita em que, a partir de certo ponto, um bloco de algarismos se repete indefinidamente. Esse bloco é chamado de período. Se não houver repetição, o número é irracional.
Confundir dízima periódica com decimal exato: decimal exato termina, dízima periódica não termina e tem repetição.
Vamos examinar cada alternativa em busca de um período. A alternativa A mostra 3,14159265358979323846... que é o início de π. Como π é um número irracional famoso, sua representação decimal é infinita e não periódica. Portanto, não é dízima periódica.
Não é dízima periódica
Achar que por ter muitas casas decimais é periódico; π não tem padrão.
A alternativa B é 0,123456789101112131415... que é a concatenação dos números naturais. Esse padrão nunca se repete como um bloco fixo, pois os números vão crescendo. Portanto, é um número irracional, não uma dízima periódica.
Não é dízima periódica
Pensar que a sequência 1,2,3,... é um período; mas o período precisa ser um bloco fixo que se repete, e aqui os blocos mudam.
A alternativa C é 0,17647058823529411764... Observe que os algarismos '1764705882352941' aparecem no início e depois se repetem: 0,1764705882352941 1764705882352941... Isso caracteriza uma dízima periódica, pois há um bloco que se repete indefinidamente. Esse número é a representação decimal de 3/17, um racional.
É dízima periódica
Não perceber a repetição do bloco de 16 algarismos; olhar apenas os primeiros dígitos e achar que não tem padrão.
A alternativa D é 12,00345999999999999999... Aqui, a sequência de noves no final é apenas uma forma alternativa de escrever um decimal exato: 12,00346 = 12,003459999... Todo decimal exato pode ser escrito com uma cauda infinita de noves. Portanto, não é uma dízima periódica no sentido de ter um período que se repete desde algum ponto; é um número racional com representação decimal finita.
Não é dízima periódica (é decimal exato)
Achar que a repetição de noves é um período; mas isso é apenas uma representação alternativa de um número finito.
A alternativa E é 0,101001000100001000001... Os zeros entre os 1s aumentam em quantidade (1, 2, 3, 4...), então o padrão nunca se repete como um bloco fixo. Isso indica um número irracional, não uma dízima periódica.
Não é dízima periódica
Achar que a sequência de 1s e zeros é periódica; mas o período precisa ser um bloco fixo, e aqui os blocos mudam.
Resposta: C) 0,17647058823529411764... — é uma dízima periódica (período 1764705882352941).
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