Questão de Raciocínio Lógico — Diagramas de Venn (Conjuntos) — CESGRANRIO 2024

Resolução

Gabarito: letra A — a conta chega a 50 alunos — alternativa A.

A ideia por trás

Quando temos dois grupos que podem se sobrepor, como alunos que cursaram A e alunos que cursaram B, precisamos de uma forma de contar quantos pertencem a pelo menos um deles sem contar ninguém duas vezes. O diagrama de Venn é o desenho que mostra essa sobreposição: dois círculos que se cruzam, e a região comum representa quem está nos dois grupos ao mesmo tempo.

A fórmula que resolve isso é o princípio da inclusão-exclusão: n(A ∪ B) = n(A) + n(B) − n(A ∩ B). Ela funciona porque, ao somar os dois grupos, quem está na interseção é contado duas vezes — uma em cada grupo — então subtraímos uma vez para corrigir. O resultado é o total de pessoas que estão em pelo menos um dos grupos. Depois, para saber quem está fora dos dois, subtraímos esse total do universo (600).

Esta questão pede exatamente isso: primeiro calcular quantos alunos cursaram pelo menos uma disciplina (A ∪ B) usando a fórmula, e depois subtrair do total para achar quem não cursou nenhuma. O passo crítico é lembrar de subtrair a interseção, senão a conta fica errada.

O que a questão dá

• total de alunos cadastrados = 600

• alunos que cursaram a disciplina A = 450

• alunos que cursaram a disciplina B = 300

• alunos que cursaram as duas disciplinas (A e B) = 200

O que queremos: o número de alunos que não cursaram nenhuma das duas disciplinas

Passo 1 — Calcular quem cursou pelo menos uma disciplina

Antes de saber quem não cursou nada, precisamos saber quantos cursaram pelo menos uma das duas. Somar 450 + 300 contaria os 200 alunos que cursaram as duas disciplinas duas vezes — uma vez em cada grupo — então precisamos subtrair essa duplicação.

Por que esta fórmula: O princípio da inclusão-exclusão é exatamente a ferramenta para unir dois conjuntos sem contar a interseção duas vezes. A fórmula n(A ∪ B) = n(A) + n(B) − n(A ∩ B) faz isso.

De onde vem cada valor: $n(A)$ = enunciado: 450 alunos cursaram a disciplina A · $n(B)$ = enunciado: 300 alunos cursaram a disciplina B · $n(A \cap B)$ = enunciado: 200 alunos cursaram as duas disciplinas

Passo 2 — Subtrair do total para achar quem não cursou nada

O total de alunos cadastrados é 600. Os 550 que cursaram pelo menos uma disciplina já foram contados; o que sobra são exatamente os que não cursaram nenhuma das duas.

Por que esta fórmula: O complemento de A ∪ B em relação ao universo é dado por total − n(A ∪ B). É uma subtração direta.

De onde vem cada valor: $total$ = enunciado: 600 alunos cadastrados · $n(A \cup B)$ = passo 1: 550 alunos

Resposta: 50 alunos — alternativa A