Matemática · CESGRANRIO · 2024 | Questão sqc-cg021618

Resolução

Gabarito: letra A — a conta chega a 12% — alternativa A.

A ideia por trás

Probabilidade condicional mede a chance de um evento acontecer sabendo que outro já ocorreu. Aqui os eventos são 'a escola foi reformada' e 'a escola melhorou no Ideb'. A porcentagem é uma forma de expressar essa probabilidade: 75% das escolas reformadas significa que, de cada 100 escolas, 75 passaram pela reforma.

A probabilidade condicional de A dado B é P(A|B) = P(A∩B) / P(B), onde P(A∩B) é a chance de os dois eventos acontecerem juntos. Se você sabe que 90% das que melhoraram foram reformadas, isso é P(Reformada|Melhorou) = 0,90. E se 10% das escolas melhoraram, P(Melhorou) = 0,10. A interseção (reformada E melhorou) é o produto desses dois: 0,10 × 0,90 = 0,09, ou seja, 9% do total. Essa relação vale sempre que as probabilidades são dadas em relação ao mesmo total.

A questão pede a condicional inversa: P(Melhorou|Reformada). Para isso, dividimos a interseção (9%) pela proporção de reformadas (75%). É a fórmula da probabilidade condicional aplicada com os dados fornecidos.

O que a questão dá

75% das escolas foram reformadas
10% das escolas melhoraram no Ideb
90% das escolas que melhoraram foram reformadas

O que queremos: a fração das escolas reformadas que melhoraram no Ideb

Passo 1 — Calcular a interseção entre reformadas e melhoradas

Precisamos saber quantas escolas foram reformadas E melhoraram ao mesmo tempo, porque essa interseção é o numerador da fração que queremos. O enunciado dá a porcentagem de reformadas entre as que melhoraram (90%) e a porcentagem de escolas que melhoraram (10%). Multiplicando esses dois, obtemos a interseção em relação ao total.

Por que esta fórmula: A interseção de dois eventos é o produto das probabilidades quando uma é condicional à outra: P(R∩M) = P(M) × P(R|M). Aqui, P(M) = 10% e P(R|M) = 90%.

P(R \cap M) = P(M) \times P(R|M)

De onde vem cada valor: $P(M)$ = enunciado: 10% das escolas melhoraram · $P(R|M)$ = enunciado: 90% das que melhoraram foram reformadas

P(R \cap M) = 0{,}10 \times 0{,}90 = \boxed{0{,}09\ (9\% \text{do} \text{total})}

NÃO CAIA NESSA!

Somar as porcentagens (10% + 90% = 100%) em vez de multiplicar — a interseção é menor que cada uma delas.

Passo 2 — Dividir a interseção pela proporção de reformadas

A pergunta é: entre as reformadas, quantas melhoraram? Isso é a probabilidade condicional P(M|R). O denominador é a proporção de reformadas no total, que é 75%. Dividindo a interseção (9%) por 75%, obtemos a fração pedida.

Por que esta fórmula: A fórmula da probabilidade condicional é P(M|R) = P(M∩R) / P(R). É a definição: dado que a escola é reformada, qual a chance de ter melhorado?

P(M|R) = \frac{P(M \cap R)}{P(R)}

De onde vem cada valor: $P(M \cap R)$ = passo 1: 0,09 · $P(R)$ = enunciado: 75% = 0,75

P(M|R) = \frac{0{,}09}{0{,}75}

0{,}12 = \boxed{12\ \%}

NÃO CAIA NESSA!

Usar 90% como numerador — isso é P(R|M), não P(M∩R). A interseção é 9%, não 90%.

Resposta: 12% — alternativa A