Questão de Matemática — Análise de Tabelas e Gráficos — CESGRANRIO 2024

Expectativa de vida e média em histogramas

Gabarito: letra A — a fração da população que vive mais do que o tempo de vida médio é menor do que 50%. Isso ocorre porque a distribuição das idades ao falecer é assimétrica à direita (cauda longa para idades altas), o que faz a média ser puxada para cima por poucos valores muito altos, ficando maior que a mediana. Como a mediana divide a população em 50% abaixo e 50% acima, e a média é maior que a mediana, a proporção de pessoas que vivem mais que a média é necessariamente menor que 50%.

O que a questão realmente testa

A questão não pede cálculo numérico — pede uma propriedade da relação entre média e mediana em distribuições assimétricas. O histograma mostra a distribuição das idades ao falecer, e a pergunta é: que fração da população vive mais do que a média? Para responder, precisamos entender como a assimetria afeta a posição relativa da média e da mediana.

A média aritmética é o ponto de equilíbrio da distribuição — é influenciada por todos os valores, especialmente pelos extremos. A mediana é o valor central: 50% dos dados estão abaixo e 50% acima dela. Numa distribuição simétrica, média e mediana coincidem, e exatamente 50% da população fica acima da média. Mas quando a distribuição é assimétrica à direita (também chamada de assimetria positiva), a cauda longa para valores altos puxa a média para cima, tornando-a maior que a mediana.

Como a mediana marca o ponto dos 50%, e a média está à direita dela (num valor maior), a proporção de observações acima da média é menor que 50%. É exatamente isso que o histograma mostra: a maioria das pessoas morre em idades mais baixas (pico à esquerda), e uma minoria vive muito (cauda à direita). Esses poucos valores extremos elevam a média, mas não representam grande parte da população.

Exemplo concreto

Imagine 10 pessoas com idades ao falecer: 60, 62, 64, 66, 68, 70, 72, 74, 76 e 98 anos. A média é:

A mediana é a média dos dois valores centrais (68 e 70) = 69 anos. Note que a média (71) é maior que a mediana (69) por causa do valor extremo 98. Quantas pessoas viveram mais que 71 anos? Apenas 3 (72, 74, 76) — e o 98 também, totalizando 4 de 10, ou seja, 40%, que é menor que 50%. O valor extremo puxou a média para cima, mas não aumentou a proporção de pessoas acima dela.

A pegadinha da banca

A banca explora a confusão entre média e mediana. Muitos candidatos pensam que, por definição, metade da população vive mais que a média — isso só é verdade para a mediana. A média, em distribuições assimétricas, não divide a população ao meio. A alternativa B (igual a 50%) é a armadilha clássica: ela seria correta se a distribuição fosse simétrica, mas o histograma mostra assimetria à direita.

Como identificar a assimetria no histograma

Para reconhecer a assimetria à direita, observe:

• O pico (maior frequência) está à esquerda do gráfico.

• A cauda se estende para a direita (idades altas com poucas ocorrências).

• A média é puxada para a direita pela cauda longa, ficando maior que a mediana.

Numa distribuição assimétrica à direita, vale a relação: média > mediana > moda. Essa é a chave para resolver a questão sem calcular nada.

Análise das alternativas

Alternativa A — ✅ Correta ⟵ GABARITO

A fração da população que vive mais que a média é menor que 50%. Como a distribuição é assimétrica à direita, a média é maior que a mediana. A mediana divide a população em 50% abaixo e 50% acima. Como a média está à direita da mediana (num valor maior), a proporção de pessoas acima da média é menor que a proporção acima da mediana, ou seja, menor que 50%. Isso é uma propriedade matemática: em qualquer distribuição, a média é o ponto de equilíbrio, e a cauda longa à direita "gasta" uma grande massa de probabilidade em poucos valores extremos, deixando menos de 50% dos dados acima dela.

Alternativa B — ❌ Incorreta

Afirma que a fração é igual a 50%. Isso só seria verdade se a distribuição fosse simétrica, caso em que média e mediana coincidem. No histograma, a distribuição é claramente assimétrica à direita, então a média é maior que a mediana, e a proporção acima da média é menor que 50%. A alternativa confunde média com mediana — a mediana sim divide a população em 50% acima e 50% abaixo.

Alternativa C — ❌ Incorreta

Afirma que a fração é maior que 50%, mas menor ou igual a 75%. Isso contraria a propriedade da assimetria à direita. Se a média é maior que a mediana, a proporção acima da média é menor que 50%, nunca maior. A alternativa inverte o sentido da relação: em vez de a cauda longa reduzir a proporção acima da média, ela a aumentaria — o que não ocorre.

Alternativa D — ❌ Incorreta

Afirma que a fração é maior que 75%, mas menor ou igual a 90%. Além de contrariar a relação média-mediana (a proporção deveria ser menor que 50%), esse intervalo é absurdo para qualquer distribuição razoável de idades. Se 75-90% da população vivesse mais que a média, a média estaria num valor muito baixo, o que não condiz com o histograma, que tem pico em idades intermediárias e cauda à direita.

Alternativa E — ❌ Incorreta

Afirma que a fração é maior que 90%. Isso é ainda mais extremo e igualmente incorreto. A média, por definição, é influenciada pelos valores altos da cauda direita, então a proporção acima dela tende a ser menor que 50% em distribuições assimétricas à direita. Valores acima de 90% seriam impossíveis na prática, pois a média estaria próxima do valor mínimo, o que não é o caso.

Conclusão

A chave da questão é reconhecer a assimetria à direita no histograma e lembrar que, nesse caso, média > mediana. Como a mediana divide a população em 50% acima e 50% abaixo, e a média é maior que a mediana, a proporção de pessoas que vivem mais que a média é menor que 50%. Portanto, a alternativa correta é a letra A.

Gabarito: letra A