Matemática · CESGRANRIO · 2024 | Questão sqc-cg021699

Resolução

Gabarito: letra E — a conta chega a N = 44 — alternativa E.

A ideia por trás

Uma progressão aritmética (PA) é uma sequência de números em que a diferença entre um termo e o anterior é sempre a mesma — essa diferença é a razão r. No tabuleiro, cada linha, coluna e diagonal tem 5 números em PA, ou seja, eles crescem (ou decrescem) de forma constante ao longo daquela direção.

A propriedade que resolve esta questão é a da média: se três termos consecutivos estão em PA, o termo do meio é a média aritmética dos outros dois, ou seja, b = (a + c)/2. Isso vale para qualquer trio consecutivo, seja na horizontal, vertical ou diagonal. Por exemplo, se numa linha temos 10, 15, 20, a razão é 5 e 15 = (10 + 20)/2.

A questão cobra exatamente essa propriedade: com dois números conhecidos numa mesma linha, coluna ou diagonal, podemos achar o terceiro. O desafio é escolher a direção certa e repetir o processo até chegar à casa N.

O que a questão dá

tabuleiro 5x5 com 25 casas
cada linha, coluna e as duas diagonais formam progressões aritméticas
três casas já preenchidas, incluindo a casa N

O que queremos: o valor de N

Passo 1 — Identificar os números conhecidos

Antes de qualquer conta, precisamos saber quais casas já estão preenchidas e onde está a incógnita N. No tabuleiro, os números conhecidos são 20, 68 e N, e eles estão dispostos de forma que N está entre 20 e 68 em uma das diagonais.

NÃO CAIA NESSA!

Não perceber que os três números estão na mesma diagonal — se você tentar usar uma linha ou coluna que não os contém, não chega a lugar nenhum.

Passo 2 — Aplicar a média na diagonal

Como os três números estão em uma mesma diagonal e formam uma PA, o termo do meio (N) é a média aritmética dos outros dois. Essa é a propriedade central que liga os números conhecidos.

Por que esta fórmula: Em uma PA, a diferença entre termos consecutivos é constante. Se os termos são a, b, c, então b - a = c - b, o que rearranjado dá b = (a + c)/2. É a forma mais direta de achar o termo central.

N = \frac{20 + 68}{2}

De onde vem cada valor: $20$ = enunciado: casa preenchida · $68$ = enunciado: casa preenchida

N = \frac{20 + 68}{2} = \boxed{44}

NÃO CAIA NESSA!

Somar 20 + 68 e errar a divisão, ou usar 20 + 68 = 88 e depois subtrair algo — o correto é dividir por 2.

Resposta: N = 44 — alternativa E