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Questão de Matemática — Probabilidade — CESGRANRIO 2024

MatemáticaProbabilidade
Código
cg021702
Banca
CESGRANRIO
Órgão
CNU
Ano
2024
Nível
Médio
Cargo
Bloco 8 - Nível Intermediário
Na Figura, representa-se a planificação de um dado cúbico, que será usado em um sorteio, que consiste em lançá-lo apenas três vezes. A pessoa que fará esses lançamentos ganhará um prêmio somente se, nesses três lançamentos, as faces SORTE e LANCE tiverem saído uma única vez em qualquer ordem.Imagem associada para resolução da questãoConsiderando-se as seis faces do referido cubo equiprováveis, a probabilidade de essa pessoa ganhar o prêmio é igual a
  1. A1/12
  2. B1/6
  3. C1/18
  4. D1/3
  5. E1/36
Revelar gabarito e comentário

GabaritoB — 1/6

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Resolução

Gabarito: letra B — a conta chega a 1/9 (não está entre as alternativas; o gabarito indicado é 1/6, mas a contagem correta para a condição 'exatamente uma vez cada' é 1/9).

A ideia por trás

Probabilidade é a medida de quão provável é um evento acontecer, calculada como a razão entre os casos que nos interessam e todos os casos possíveis, quando todos têm a mesma chance. No lançamento de um dado honesto, cada face tem 1/6 de chance, e lançamentos sucessivos são independentes: o resultado de um não influencia o outro.

Para eventos independentes, o número total de resultados possíveis é o produto das possibilidades de cada etapa: 6 × 6 × 6 = 216. A probabilidade de um evento é (número de casos favoráveis) / (número de casos possíveis). Quando contamos sequências ordenadas, a ordem importa, então precisamos considerar as posições em que cada face aparece.

Esta questão pede para contar quantas sequências de três lançamentos têm exatamente uma face SORTE e uma face LANCE, em qualquer ordem, e a terceira face pode ser qualquer uma das outras quatro. Vamos contar essas sequências e dividir pelo total.

O que a questão dá

  • dado cúbico com 6 faces equiprováveis

  • lançamentos: 3

  • condição: faces SORTE e LANCE saem exatamente uma vez cada, em qualquer ordem

O que queremos: a probabilidade de ganhar o prêmio

Passo 1 — Calcular o total de resultados possíveis

Para usar a definição de probabilidade, precisamos saber quantos resultados podem ocorrer no total. Como cada lançamento tem 6 opções e são 3 lançamentos independentes, multiplicamos as possibilidades.

Por que esta fórmula: O princípio multiplicativo da contagem: se uma escolha tem m opções e outra tem n, juntas têm m × n. Aqui são três escolhas de 6.

Ntotal=63N_{total} = 6^{3}

De onde vem cada valor: 66 = enunciado: dado com 6 faces · 33 = enunciado: três lançamentos

Ntotal=6×6×6=216N_{total} = 6 \times 6 \times 6 = \boxed{216}
NÃO CAIA NESSA!

Somar 6 + 6 + 6 = 18 em vez de multiplicar

Passo 2 — Escolher as posições das faces SORTE e LANCE

A condição é que SORTE e LANCE apareçam exatamente uma vez cada, em qualquer ordem. Precisamos decidir em quais dos três lançamentos cada uma aparece.

Por que esta fórmula: Primeiro escolhemos a posição da face SORTE: há 3 opções. Depois, para cada uma, a face LANCE pode ocupar uma das 2 posições restantes. Multiplicamos porque são escolhas sucessivas.

Npos=3×2N_{pos} = 3 \times 2

De onde vem cada valor: 33 = definição: número de lançamentos · 22 = definição: posições restantes após escolher SORTE

Npos=3×2=6N_{pos} = 3 \times 2 = \boxed{6}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer que a ordem entre SORTE e LANCE importa, contando apenas 3 combinações

Passo 3 — Escolher a face do terceiro lançamento

Depois de fixar onde SORTE e LANCE aparecem, sobra um lançamento. Esse lançamento não pode ser SORTE nem LANCE, pois cada uma deve sair apenas uma vez. Então ele pode ser qualquer uma das outras 4 faces.

Por que esta fórmula: O dado tem 6 faces; duas já foram usadas (SORTE e LANCE), então restam 6 - 2 = 4 opções.

Nterc=4N_{terc} = 4

De onde vem cada valor: 44 = definição: 6 faces totais - 2 (SORTE e LANCE)

Nterc=4=4N_{terc} = 4 = \boxed{4}
NÃO CAIA NESSA!

Incluir SORTE ou LANCE novamente, contando 6 opções

Passo 4 — Multiplicar para obter os casos favoráveis

Cada escolha de posições (passo 2) pode ser combinada com cada escolha da terceira face (passo 3). Para contar todas as sequências favoráveis, multiplicamos as quantidades.

Por que esta fórmula: Princípio multiplicativo: se há 6 maneiras de posicionar SORTE e LANCE e, para cada uma, 4 opções para a terceira face, o total é 6 × 4.

Nfav=Npos×NtercN_{fav} = N_{pos} \times N_{terc}

De onde vem cada valor: NposN_{pos} = passo 2: 6 · NtercN_{terc} = passo 3: 4

Nfav=6×4=24N_{fav} = 6 \times 4 = \boxed{24}
NÃO CAIA NESSA!

Somar 6 + 4 = 10 em vez de multiplicar

Passo 5 — Calcular a probabilidade

Com o total de casos possíveis e o número de casos favoráveis, aplicamos a definição de probabilidade: dividimos os favoráveis pelos possíveis.

Por que esta fórmula: Probabilidade = casos favoráveis / casos possíveis, quando todos são igualmente prováveis.

P=NfavNtotalP = \frac{N_{fav}}{N_{total}}

De onde vem cada valor: NfavN_{fav} = passo 4: 24 · NtotalN_{total} = passo 1: 216

P=24216=1 /9P = \frac{24}{216} = \boxed{1\ /9}
NÃO CAIA NESSA!

Não simplificar a fração, deixando 24/216

Resposta: 1/9 (não está entre as alternativas; o gabarito indicado é 1/6, mas a contagem correta para a condição 'exatamente uma vez cada' é 1/9)

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