Raciocínio Lógico · CESGRANRIO · 2024 | Questão sqc-cg021705

Resolução

Gabarito: letra C — a conta chega a 28 partidas — alternativa C.

A ideia por trás

A análise combinatória é a parte da matemática que conta de quantas maneiras podemos escolher ou organizar elementos de um conjunto. Quando escolhemos um grupo de elementos e a ordem dentro dele não importa — por exemplo, uma dupla de bandeirinhas, uma comissão ou um time — estamos diante de uma combinação. O que importa é apenas quais elementos foram escolhidos, não a sequência em que aparecem.

A combinação simples de n elementos tomados p a p é dada por C(n, p) = n! / (p! (n-p)!). O fatorial n! é o produto de todos os inteiros de 1 até n. Essa fórmula conta quantos grupos diferentes de p elementos podemos formar a partir de n elementos, sem repetição e sem considerar a ordem. Por exemplo, com 3 pessoas, podemos formar 3 duplas diferentes: AB, AC e BC — note que AB e BA são a mesma dupla. Se a ordem importasse, usaríamos arranjo, que daria o dobro.

Esta questão pede exatamente o número de duplas que podem ser formadas com 8 bandeirinhas, já que cada partida usa uma dupla e cada dupla só pode ser usada uma vez. Como a ordem dentro da dupla não importa, a ferramenta é a combinação simples.

O que a questão dá

total de bandeirinhas = 8
tamanho da dupla = 2
cada dupla só pode atuar em uma partida

O que queremos: o número máximo de partidas que podem ser realizadas

Passo 1 — Aplicar a fórmula da combinação

O problema fala em formar duplas de bandeirinhas, e a dupla {A, B} é a mesma que {B, A} — a ordem não importa. Quando a ordem não importa e não há repetição, usamos combinação, não arranjo. A fórmula da combinação simples conta exatamente quantos grupos de 2 podemos formar com 8 elementos.

Por que esta fórmula: A combinação C(n, p) = n! / (p! (n-p)!) é a fórmula que conta grupos sem ordem. Aqui n = 8 (total de bandeirinhas) e p = 2 (tamanho da dupla).

C(8, 2) = \frac{8!}{2!(8-2)!}

De onde vem cada valor: $8$ = enunciado: total de bandeirinhas · $2$ = enunciado: tamanho da dupla

C(8, 2) = \frac{8!}{2! \cdot 6!}

NÃO CAIA NESSA!

Confundir com arranjo e usar 8 × 7 = 56, esquecendo que a ordem não importa.

Passo 2 — Simplificar os fatoriais

A fórmula com fatoriais parece complicada, mas podemos simplificar antes de multiplicar. Como 8! = 8 × 7 × 6!, o 6! aparece no numerador e no denominador e se cancela, sobrando uma conta simples.

Por que esta fórmula: A simplificação usa a definição de fatorial: n! = n × (n-1) × ... × 1. Aqui, 8! = 8 × 7 × 6!, e 2! = 2 × 1 = 2.

C(8, 2) = \frac{8 \times 7 \times 6!}{2 \times 1 \times 6!}

De onde vem cada valor: $8 \times 7$ = passo 1: 8! = 8 × 7 × 6! · $6!$ = passo 1: aparece no numerador e denominador · $2 \times 1$ = passo 1: 2! = 2 × 1

C(8, 2) = \frac{8 \times 7}{2}

NÃO CAIA NESSA!

Tentar calcular 8! e 6! separadamente, o que dá números enormes e aumenta a chance de erro.

Passo 3 — Calcular a divisão final

Agora a conta ficou simples: multiplicamos 8 por 7 e dividimos por 2. Esse é o número de duplas possíveis, que é exatamente o número máximo de partidas.

Por que esta fórmula: A divisão por 2 elimina as duplas repetidas (AB e BA são a mesma dupla).

C(8, 2) = \frac{56}{2}

De onde vem cada valor: $56$ = passo 2: 8 × 7 = 56 · $2$ = passo 2: 2! = 2

C(8, 2) = 28 = \boxed{28\ \text{duplas}}

NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de dividir por 2 e marcar 56, que é o arranjo.

Resposta: 28 partidas — alternativa C

Questão de Raciocínio Lógico — Análise Combinatória em Raciocínio Lógico — CESGRANRIO 2024

Resolução

A ideia por trás

O que a questão dá

Passo 1 — Aplicar a fórmula da combinação

Passo 2 — Simplificar os fatoriais

Passo 3 — Calcular a divisão final