Matemática · CESGRANRIO · 2024 | Questão sqc-cg021707

Volume de sólidos e regra de três

Gabarito: letra C — o tanque cônico tem volume igual a 2/3 do volume do cilindro, então o tempo de enchimento é 2/3 de 2 h 24 min, ou seja, 1 h 36 min. A relação entre os volumes é o que decide a questão: o cilindro tem volume $V_{cil} = \pi R^2 \cdot 2y = 2\pi R^2 y$ , enquanto o cone tem volume $V_{cone} = \frac{1}{3}\pi (2R)^2 \cdot y = \frac{4}{3}\pi R^2 y$ .

O problema combina dois conteúdos: geometria espacial (cálculo de volumes de cilindro e cone) e regra de três (relação entre volume e tempo de enchimento com vazão constante). A vazão da torneira é a mesma nos dois casos, então o tempo de enchimento é diretamente proporcional ao volume do tanque: se o volume dobra, o tempo dobra; se o volume cai pela metade, o tempo cai pela metade. Por isso, o caminho é: (1) calcular os dois volumes em função de R e y; (2) achar a razão entre eles; (3) aplicar essa razão ao tempo conhecido.

Vamos às fórmulas. O volume de um cilindro circular reto é a área da base ( $\pi r^2$ ) vezes a altura ( $h$ ): $V_{cilindro} = \pi r^2 h$ . O volume de um cone circular reto é um terço da área da base vezes a altura: $V_{cone} = \frac{1}{3}\pi r^2 h$ . Essas fórmulas são a base de tudo — quem não as domina não consegue nem começar a questão.

Aplicando ao enunciado:

Cilindro: raio $R$ , altura $2y$ → $V_{cil} = \pi R^2 \cdot 2y = 2\pi R^2 y$
Cone: raio $2R$ , altura $y$ → $V_{cone} = \frac{1}{3}\pi (2R)^2 \cdot y = \frac{1}{3}\pi \cdot 4R^2 \cdot y = \frac{4}{3}\pi R^2 y$

A razão entre os volumes é:

\frac{V_{cone}}{V_{cil}} = \frac{\frac{4}{3}\pi R^2 y}{2\pi R^2 y} = \frac{4/3}{2} = \frac{4}{3} \cdot \frac{1}{2} = \frac{2}{3}

Ou seja, o cone tem 2/3 do volume do cilindro. Como a vazão é constante, o tempo de enchimento do cone é 2/3 do tempo do cilindro.

O tempo do cilindro é 2 h 24 min. Convertendo para minutos: $2 \times 60 + 24 = 144$ minutos. O tempo do cone será $\frac{2}{3} \times 144 = 96$ minutos, que equivale a 1 h 36 min. Essa é a alternativa C.

A pegadinha clássica deste tipo de questão é esquecer o fator $\frac{1}{3}$ do volume do cone, ou errar ao elevar ao quadrado o raio $2R$ (o correto é $(2R)^2 = 4R^2$ , não $2R^2$ ). Quem comete esses erros chega a tempos como 2 h 24 min (alternativa B, se considerar volumes iguais) ou 3 h 36 min (alternativa D, se considerar o cone com o dobro do volume).

NÃO CAIA NESSA!

A banca explora exatamente a confusão entre o fator $\frac{1}{3}$ do cone e o quadrado do raio. Se você esquecer o $\frac{1}{3}$ , o volume do cone seria $4\pi R^2 y$ , o dobro do cilindro, e o tempo seria 4 h 48 min (nem aparece nas alternativas). Se você elevar $2R$ ao quadrado errado (como $2R^2$ ), o volume do cone seria $\frac{2}{3}\pi R^2 y$ , um terço do cilindro, e o tempo seria 48 min (também não aparece). A alternativa D (3 h 36 min) é o resultado de quem calcula o volume do cone como $\frac{1}{3}\pi (2R)^2 \cdot 2y$ (usando altura $2y$ em vez de $y$ ) — um erro de leitura do enunciado. Fique atento: o raio do cone é $2R$ e a altura é $y$ , não o contrário.

Alternativa A — ❌ Incorreta

1 h 54 min não corresponde a nenhuma razão simples entre os volumes. Se o aluno calcula o volume do cone como $\frac{2}{3}$ do cilindro, mas erra a conversão de 96 minutos para horas (achando que é 1 h 54 min), cai aqui. O correto é 96 min = 1 h 36 min.

Alternativa B — ❌ Incorreta

2 h 24 min seria o tempo se o cone tivesse o mesmo volume do cilindro. Isso acontece se o aluno esquece o fator $\frac{1}{3}$ do cone E erra o quadrado do raio de forma que os volumes se igualem (por exemplo, usando $\pi (2R)^2 y = 4\pi R^2 y$ e comparando com $2\pi R^2 y$ , não são iguais; mas se também erra a altura do cilindro, pode chegar a um falso empate). Na prática, é o distrator de quem não calcula os volumes e assume que, como os tanques têm dimensões parecidas, o tempo é o mesmo.

Alternativa C — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Como demonstrado, $V_{cone} = \frac{2}{3} V_{cil}$ . Com vazão constante, o tempo é proporcional ao volume: $t_{cone} = \frac{2}{3} \times 144 \text{ min} = 96 \text{ min} = 1 \text{ h } 36 \text{ min}$ . A alternativa espelha exatamente o cálculo correto.

Alternativa D — ❌ Incorreta

3 h 36 min (216 min) é o resultado de quem calcula o volume do cone como o dobro do cilindro ( $V_{cone} = 2 V_{cil}$ ). Isso ocorre se o aluno usa a altura do cone como $2y$ (em vez de $y$ ) e o raio como $2R$ , obtendo $\frac{1}{3}\pi (2R)^2 \cdot 2y = \frac{8}{3}\pi R^2 y$ , que é $\frac{4}{3}$ do cilindro — não é o dobro. Para chegar a 216 min, seria necessário $V_{cone} = 1,5 V_{cil}$ , o que não corresponde a nenhum erro comum de fórmula. É um distrator numérico sem correspondência direta com um erro típico, mas que atrai quem faz contas apressadas.

Alternativa E — ❌ Incorreta

1 h 24 min (84 min) seria o tempo se o cone tivesse $\frac{7}{12}$ do volume do cilindro, o que não corresponde a nenhuma combinação das fórmulas. É um distrator que pode atrair quem erra a conversão de 96 minutos (por exemplo, subtraindo 12 minutos por engano) ou quem calcula o volume do cone como $\frac{7}{12}$ do cilindro por um erro de aritmética na razão.

Gabarito: letra C