Matemática · CESGRANRIO · 2024 | Questão sqc-cg021708

Resolução

Gabarito: letra A — a conta chega a 25π cm² — alternativa A.

A ideia por trás

A área do círculo mede a superfície interna da circunferência e depende apenas do raio: quanto maior o raio, maior a área, e ela cresce com o quadrado dele. O raio é a distância do centro até qualquer ponto da borda, e é a peça central de qualquer cálculo de círculo.

A área é dada por A = πr², onde r é o raio. Se o raio dobra, a área quadruplica, porque o quadrado amplifica a variação. Para achar o raio, muitas vezes é preciso usar outras figuras dentro do círculo, como triângulos retângulos, onde valem as relações de seno, cosseno e tangente.

Esta questão esconde o raio dentro de um triângulo retângulo formado pelo retângulo inscrito. O passo decisivo é reconhecer que o segmento PR, que liga o centro a um ponto da circunferência, é exatamente o raio, e usar a trigonometria para descobrir seu comprimento.

O que a questão dá

lado PS do retângulo = 2,5 cm
ângulo em S do triângulo PRS = 30°
P é o centro do círculo
R pertence à circunferência

O que queremos: a área do círculo em cm²

Passo 1 — Achar o raio usando o seno

O raio é a distância do centro até a borda do círculo. Como P é o centro e R está sobre a circunferência, o segmento PR é exatamente um raio. Precisamos do valor dele para calcular a área, então vamos descobri-lo.

Por que esta fórmula: No triângulo retângulo PRS, o ângulo de 30° está em S, e o lado PS é o cateto oposto a esse ângulo. A hipotenusa é PR, que é o raio que queremos. A relação do seno liga exatamente esses dois lados.

\sin 30° = \frac{PS}{PR}

De onde vem cada valor: $PS$ = enunciado: 2,5 cm · $30°$ = enunciado: ângulo em S

\sin 30° = \frac{2{,}5}{PR}

PR = \boxed{5\ \text{cm}}

NÃO CAIA NESSA!

Usar cosseno em vez de seno, o que daria PR = 2,5 / cos30° ≈ 2,89 cm, errado.

Passo 2 — Calcular a área do círculo

Agora que temos o raio, a área é direta. A fórmula da área do círculo usa o raio ao quadrado, então substituímos o valor encontrado.

Por que esta fórmula: A área de um círculo é π vezes o quadrado do raio, pois é a medida da superfície interna.

A = \pi r^{2}

De onde vem cada valor: $r$ = passo 1: 5 cm

A = \pi \cdot 5^{2} = \boxed{25\ \pi \text{cm}^{2}}

NÃO CAIA NESSA!

Usar o diâmetro no lugar do raio, ou esquecer de elevar ao quadrado.

Resposta: 25π cm² — alternativa A