Questão de Matemática — Progressão Aritmética - PA — CESGRANRIO 2024

Progressões: a ponte entre PG e PA

Gabarito: letra E. A sequência resultante é uma progressão aritmética com primeiro termo 4 e razão 3. Isso decorre de uma propriedade clássica: se os termos de uma sequência são obtidos pelo logaritmo (na base 2) dos termos de uma progressão geométrica de razão 8, então a nova sequência é uma PA cuja razão é o logaritmo da razão da PG — $ \log_2 8 = 3 $ — e cujo primeiro termo é $ \log_2 16 = 4 $.

O coração da questão está em reconhecer a transformação que liga as duas progressões. Uma progressão geométrica é uma sequência em que cada termo, a partir do segundo, é o produto do anterior por uma constante $q$ (a razão). Já uma progressão aritmética é aquela em que cada termo, a partir do segundo, é a soma do anterior com uma constante $r$ (a razão). A ponte entre elas é a função logarítmica: aplicar logaritmo aos termos de uma PG transforma a multiplicação pela razão em adição da razão logarítmica — exatamente o que caracteriza uma PA.

Vamos ao caso concreto. A PG tem primeiro termo 16 e razão 8, então seus termos são: $16, 128, 1024, 8192, \dots$ (cada um é o anterior multiplicado por 8). A sequência pedida é formada pelos logaritmos na base 2 desses termos: $\log_2 16 = 4$, $\log_2 128 = 7$, $\log_2 1024 = 10$, $\log_2 8192 = 13$, e assim por diante. Repare: $4, 7, 10, 13, \dots$ é uma PA de razão 3 — cada termo cresce somando 3, porque $\log_2 8 = 3$. O primeiro termo é 4, pois $\log_2 16 = 4$.

A pegadinha que a banca explora é justamente a inversão dos conceitos: o candidato que confunde PA com PG (ou que esquece de aplicar o logaritmo) tende a marcar uma alternativa que mantém a razão 8 ou o primeiro termo 16, como se a sequência resultante fosse geométrica. Mas a operação de logaritmo muda a natureza da progressão: o que era multiplicação vira adição. Guarde a regra: se $b_n = \log_c(a_n)$ e $a_n$ é PG de razão $q$, então $b_n$ é PA de razão $\log_c(q)$.

Agora, com o critério decisivo em mente — a razão da PA resultante é o logaritmo da razão da PG, e o primeiro termo é o logaritmo do primeiro termo da PG —, vamos analisar cada alternativa.

Alternativa A — ❌ Incorreta

Afirma que a sequência é aritmética com primeiro termo 16 e razão 8. O tipo está certo (é PA), mas os valores estão errados: o primeiro termo deveria ser $\log_2 16 = 4$, não 16, e a razão deveria ser $\log_2 8 = 3$, não 8. A banca mantém os valores da PG original, como se a transformação não tivesse ocorrido.

Alternativa B — ❌ Incorreta

Afirma que a sequência é geométrica com primeiro termo 4 e razão 3. Aqui os valores estão certos (4 e 3), mas o tipo está errado: a sequência é aritmética, não geométrica. É a inversão clássica de conceitos — o candidato que calcula os valores corretos mas não percebe que o logaritmo transforma a PG em PA cai nessa armadilha.

Alternativa C — ❌ Incorreta

Afirma que a sequência é aritmética com primeiro termo 8 e razão 4. Os valores estão trocados: o primeiro termo é 4 (não 8) e a razão é 3 (não 4). A banca embaralha os números da PG (16 e 8) e da razão logarítmica (3), criando um distrator que mistura tudo.

Alternativa D — ❌ Incorreta

Afirma que a sequência é geométrica com primeiro termo 8 e razão 4. Erra tanto no tipo (é PA, não PG) quanto nos valores (primeiro termo 4, razão 3). É a combinação de dois erros: a inversão de conceito e a troca dos números.

Alternativa E — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Afirma que a sequência é aritmética com primeiro termo 4 e razão 3. É exatamente o que encontramos: $\log_2 16 = 4$ e $\log_2 8 = 3$. A sequência $4, 7, 10, 13, \dots$ é uma PA de razão 3, pois cada termo é o anterior somado a 3.

Gabarito: letra E