Questão de Matemática — Probabilidade — CESGRANRIO 2024

Probabilidade com Análise Combinatória: grupo com exatamente um estagiário

Gabarito: letra D (10/33). A probabilidade é a razão entre o número de grupos com exatamente 1 estagiário e 4 efetivos (casos favoráveis) e o número total de grupos de 5 funcionários possíveis (casos totais), ambos calculados por combinação, pois a ordem dos sorteados não importa. O cálculo é $P = \frac{C_{4,1} \times C_{7,4}}{C_{11,5}} = \frac{4 \times 35}{462} = \frac{140}{462} = \frac{10}{33}$.

O problema envolve dois conceitos que andam juntos: análise combinatória e probabilidade. A análise combinatória fornece as ferramentas para contar quantos grupos diferentes podem ser formados, e a probabilidade clássica é a razão entre os casos favoráveis e os casos possíveis. Como o grupo é formado por sorteio aleatório e a ordem de escolha dos funcionários não importa (todos os 5 terão o mesmo papel no grupo), usamos combinação, não arranjo ou permutação.

A combinação de $n$ elementos tomados $k$ a $k$ é dada por $C_{n,k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$. Ela conta quantos subconjuntos de tamanho $k$ podem ser formados a partir de um conjunto de $n$ elementos, sem levar em conta a ordem. Por exemplo, escolher os funcionários A, B, C, D e E é o mesmo grupo que escolher E, D, C, B e A — a ordem do sorteio não cria grupos diferentes.

No nosso caso, temos 11 funcionários no total (4 estagiários + 7 efetivos) e vamos sortear um grupo de 5. O espaço amostral (total de casos possíveis) é o número de maneiras de escolher 5 funcionários entre os 11, ou seja, $C_{11,5}$. O evento favorável é o grupo ter exatamente 1 estagiário — nem 0, nem 2, nem mais — e, portanto, 4 efetivos. Para contar esses grupos, usamos o princípio multiplicativo: escolhemos 1 estagiário entre os 4 disponíveis ($C_{4,1}$) e, independentemente, escolhemos 4 efetivos entre os 7 disponíveis ($C_{7,4}$). Multiplicamos as duas quantidades porque cada escolha de estagiário pode ser combinada com cada escolha de efetivos.

Vamos calcular cada parte:

• $C_{11,5} = \frac{11!}{5! \times 6!} = \frac{11 \times 10 \times 9 \times 8 \times 7}{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} = \frac{55440}{120} = 462$

• $C_{4,1} = \frac{4!}{1! \times 3!} = 4$

• $C_{7,4} = \frac{7!}{4! \times 3!} = \frac{7 \times 6 \times 5}{3 \times 2 \times 1} = 35$

Assim, os casos favoráveis são $4 \times 35 = 140$. A probabilidade é:

A fração $\frac{140}{462}$ foi simplificada dividindo numerador e denominador por 14, resultando em $\frac{10}{33}$. Esse é o valor da alternativa D.

A pegadinha mais comum nesse tipo de questão é esquecer de multiplicar as combinações dos dois grupos (estagiários e efetivos) ou calcular o total de casos possíveis de forma errada, como se a ordem importasse. Outra armadilha é confundir "apenas um estagiário" com "pelo menos um estagiário" — neste caso, seria necessário somar as probabilidades de ter 1, 2, 3 ou 4 estagiários, o que daria um resultado diferente.

Alternativa A — ❌ Incorreta

O valor $\frac{4}{11}$ corresponde à probabilidade de sortear um único funcionário que seja estagiário, ou seja, $\frac{4}{11}$ (4 estagiários em 11 funcionários). Mas a questão pede a probabilidade de um grupo de 5 ter exatamente 1 estagiário, não de um sorteio individual. A banca tenta induzir o candidato a usar a proporção simples de estagiários no setor, ignorando a combinação dos demais membros do grupo.

Alternativa B — ❌ Incorreta

O valor $\frac{1}{22}$ não corresponde a nenhum cálculo direto do problema. Ele poderia surgir de um erro como calcular $\frac{C_{4,1}}{C_{11,5}} = \frac{4}{462} = \frac{2}{231}$, que não é $\frac{1}{22}$, ou de uma divisão incorreta dos casos favoráveis. Não há fundamento combinatório para esse número — é um distrator puro.

Alternativa C — ❌ Incorreta

O valor $\frac{1}{5}$ é a probabilidade de escolher um estagiário específico entre os 5 sorteados, se todos fossem igualmente prováveis de serem estagiários, mas isso ignora a composição real do grupo. Também poderia ser a probabilidade de um funcionário específico ser sorteado, $\frac{5}{11}$, que simplificada não dá $\frac{1}{5}$. É um distrator que não reflete o cálculo correto.

Alternativa D — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Como demonstrado, a probabilidade é $\frac{C_{4,1} \times C_{7,4}}{C_{11,5}} = \frac{4 \times 35}{462} = \frac{140}{462} = \frac{10}{33}$. O cálculo considera corretamente que o grupo deve ter exatamente 1 estagiário (escolhido entre 4) e 4 efetivos (escolhidos entre 7), dividido pelo total de grupos possíveis de 5 entre 11.

Alternativa E — ❌ Incorreta

O valor $\frac{1}{4}$ é a probabilidade de sortear um estagiário específico entre os 4 estagiários, ou seja, $\frac{1}{4}$. Mas isso não leva em conta o tamanho do grupo (5) nem a necessidade de completar com efetivos. É um distrator que confunde a probabilidade de um elemento individual com a probabilidade de uma composição de grupo.

Gabarito: letra D