Matemática · CESGRANRIO · 2024 | Questão sqc-cg057809

MatemáticaRazões e Funções Trigonométricas. Ciclo Trigonométrico.

Código: cg057809
Banca: CESGRANRIO
Órgão: CNU
Ano: 2024

Cargo: SPF ( )

Com as alterações climáticas no planeta, o comportamento da temperatura em uma certa cidade sofreu algumas alterações, subindo basicamente em todas as estações do ano. Considere que, no ano 2000, a temperatura (T), em ºC, possa ser calculada de forma aproximada pela seguinte relação envolvendo operações trigonométricas: T(t)=20+16

\times

\,sen\Bigl(πt)/(6)-(4π)/(6)Bigl com 0 \le t \le 12, sendo t=0 (dezembro de 1999) e t =12 (dezembro de 2000). Considere ainda que, no ano 2020, a temperatura (T), em ºC, possa ser calculada de forma aproximada pela seguinte relação envolvendo operações trigonométricas: T(t)=24+16

\times

\,sen\Bigl(πt)/(6)-(4π)/(6)Bigl com 0 \le t \le 12, sendo t=0 (dezembro de 2019) e t =12 (dezembro de 2020). Considerando-se esses modelos, o valor máximo dessa temperatura, em ºC, no ano de 2020, foi igual a

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GabaritoC — 40

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Resolução

Gabarito: letra C — a conta chega a 40 ºC — alternativa C.

A ideia por trás

A função seno é uma onda que oscila entre -1 e 1, não importa o que esteja dentro dela. Quando multiplicamos o seno por um número, a onda estica ou encolhe verticalmente; quando somamos um número, a onda inteira sobe ou desce. O valor máximo de uma função do tipo A + B·sen(...) é sempre A + |B|, porque o seno nunca passa de 1.

Na função T(t) = 24 + 16·sen(ângulo), o 24 é o deslocamento vertical (a temperatura média) e o 16 é a amplitude (o quanto a temperatura varia acima e abaixo da média). Como o seno máximo é 1, o maior valor de 16·sen é 16·1 = 16. Somando o deslocamento, o máximo é 24 + 16 = 40. O ângulo interno (πt/6 - 4π/6) só desloca a onda horizontalmente, não muda o valor máximo.

Esta questão cobra exatamente essa propriedade: o máximo de uma função seno com amplitude e deslocamento. Basta identificar o termo constante e a amplitude, sem precisar calcular t.

O que a questão dá

função para 2020: T(t) = 24 + 16·sen(πt/6 - 4π/6)
domínio: 0 ≤ t ≤ 12
seno varia entre -1 e 1

O que queremos: o valor máximo da temperatura em 2020

Passo 1 — Calcular o maior valor do termo com seno

O seno de qualquer ângulo está sempre entre -1 e 1. Para maximizar T(t), precisamos do maior valor possível de 16·sen(...), que é quando sen(...) = 1.

Por que esta fórmula: A imagem da função seno é [-1, 1], então o máximo de 16·sen é 16·1 = 16.

16 \cdot \text{sen}(\text{ângulo}) \leq 16 \cdot 1

De onde vem cada valor: $16$ = enunciado: coeficiente da função · $1$ = definição: valor máximo da função seno

16 \cdot 1 = 16 = \boxed{16}

NÃO CAIA NESSA!

Achar que o seno pode ser maior que 1, ou usar o valor mínimo (-1) por engano.

Passo 2 — Somar o termo constante ao máximo do seno

O valor máximo da função é a soma do deslocamento vertical com o maior valor que a parte senoidal pode atingir. Agora que temos os dois, é só somar.

Por que esta fórmula: Para uma função do tipo A + B·sen(...), o máximo é A + |B|, pois o seno máximo é 1.

T_{max} = 24 + 16

De onde vem cada valor: $24$ = enunciado: termo constante da função de 2020 · $16$ = passo 1: valor máximo de 16·sen

T_{max} = 24 + 16 = \boxed{40\ º\text{C}}

NÃO CAIA NESSA!

Usar o termo constante de 2000 (20) em vez do de 2020 (24), resultando em 36.

Resposta: 40 ºC — alternativa C

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