GabaritoC — 25π
Gabarito: letra C — a conta chega a 25π cm² — alternativa C.
A área do círculo mede a superfície interna da circunferência e depende apenas do raio: quanto maior o raio, maior a área, e ela cresce com o quadrado dele. A unidade é o centímetro quadrado (cm²). Para encontrá-la, precisamos descobrir o raio, que é a distância do centro até qualquer ponto da borda.
A fórmula da área é A = πr², onde r é o raio. Ela tem essa cara porque o círculo pode ser 'fatiado' e rearranjado num retângulo de base πr e altura r. Se o raio dobra, a área quadruplica — por isso é tão importante não errar o valor de r. No triângulo retângulo, as razões trigonométricas ligam ângulos e lados: o cosseno de um ângulo é o cateto adjacente dividido pela hipotenusa.
Esta questão esconde o raio dentro de um retângulo inscrito: a diagonal do retângulo é um raio, e um dos triângulos formados tem um ângulo de 30° com um lado conhecido. Usar a razão trigonométrica certa nesse triângulo revela o raio.
lado PS do retângulo = 5√3/2 cm
ângulo PSQ = 30°
ponto R pertence à circunferência
centro do círculo é P
O que queremos: a área do círculo
O ponto R está sobre a circunferência e o centro é P, então o segmento PR é um raio. No retângulo PQRS, PR é uma diagonal. As diagonais de um retângulo são sempre iguais, então a outra diagonal SQ também mede o raio. É essa igualdade que nos permite trabalhar no triângulo PSQ, onde temos informações.
Esquecer que as diagonais de um retângulo são iguais e tentar achar o raio por outro caminho, como usar o lado PQ que não é dado.
No triângulo PSQ, o ângulo de 30° está em S, e o lado PS é o cateto adjacente a esse ângulo. A hipotenusa é SQ, que acabamos de ver ser o raio. O cosseno relaciona exatamente o cateto adjacente com a hipotenusa, então é a ferramenta certa para achar SQ.
Por que esta fórmula: A definição de cosseno em um triângulo retângulo é cateto adjacente sobre hipotenusa. Como conhecemos o cateto adjacente e o ângulo, isolamos a hipotenusa.
De onde vem cada valor: = enunciado: 5√3/2 cm · = enunciado: ângulo PSQ = 30°
Usar seno de 30° em vez de cosseno, o que daria SQ = 5√3 e levaria à alternativa D (75π).
A equação do passo anterior tem SQ no denominador; para descobrir seu valor, precisamos isolá-la. Isso é uma manipulação algébrica simples: multiplicar ambos os lados por SQ e depois dividir pelo cosseno.
Por que esta fórmula: Multiplicando cruzado, obtemos SQ = PS / cos 30°. É a mesma relação, apenas resolvida para a incógnita.
De onde vem cada valor: = passo 2: 5√3/2 cm · = constante: √3/2
Errar a divisão de frações: esquecer de multiplicar pelo inverso do denominador.
Agora que sabemos o raio (SQ = 5 cm), podemos aplicar a fórmula da área do círculo. A área depende do quadrado do raio, então precisamos elevar 5 ao quadrado e multiplicar por π.
Por que esta fórmula: A área do círculo é A = πr², a fórmula fundamental que relaciona área e raio.
De onde vem cada valor: = passo 3: 5 cm · = constante
Esquecer de elevar o raio ao quadrado e responder 5π, ou usar o raio errado (5√3) e cair na alternativa D.
Resposta: 25π cm² — alternativa C
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