Questão de Matemática — Progressão Geométrica — CESGRANRIO 2024

Progressão Geométrica e a relação com a Progressão Aritmética

Gabarito: letra A. Se $b_n = 2^{a_n}$ e $b_n$ é uma PG de primeiro termo 16 e razão 8, então $a_n$ é necessariamente uma progressão aritmética (PA) de primeiro termo 4 e razão 3. Isso decorre da propriedade dos logaritmos: o logaritmo de uma PG é uma PA, e como $16 = 2^4$ e $8 = 2^3$, temos $a_1 = 4$ e a razão da PA é $r = 3$.

Vamos entender o porquê disso. Uma progressão geométrica é uma sequência em que cada termo, a partir do segundo, é o produto do termo anterior por uma constante chamada razão ($q$). Já uma progressão aritmética é uma sequência em que cada termo, a partir do segundo, é a soma do termo anterior com uma constante chamada razão ($r$). A relação entre elas aparece quando aplicamos uma função exponencial ou logarítmica: se os termos de uma sequência formam uma PA, então os termos da sequência formada por uma potência de base fixa desses termos formam uma PG, e vice-versa.

No problema, temos $b_n = 2^{a_n}$. Como $b_n$ é uma PG, podemos escrever seus termos como $b_1 = 16$, $b_2 = 16 \times 8 = 128$, $b_3 = 128 \times 8 = 1024$, e assim por diante. Para encontrar $a_n$, aplicamos o logaritmo na base 2 em ambos os lados da equação: $a_n = \log_2(b_n)$. Assim, $a_1 = \log_2(16) = 4$, $a_2 = \log_2(128) = 7$, $a_3 = \log_2(1024) = 10$. A sequência $a_n$ é $4, 7, 10, \dots$, que é uma PA com primeiro termo 4 e razão 3.

A razão da PA pode ser encontrada diretamente: se $b_{n+1} = b_n \times q$, então $2^{a_{n+1}} = 2^{a_n} \times q = 2^{a_n} \times 2^{\log_2 q}$, o que implica $a_{n+1} = a_n + \log_2 q$. Portanto, a razão da PA é $r = \log_2 q$. Como $q = 8 = 2^3$, temos $r = 3$. E o primeiro termo é $a_1 = \log_2(b_1) = \log_2(16) = 4$.

A pegadinha da banca está em confundir os conceitos: ela oferece alternativas que descrevem $a_n$ como uma progressão geométrica, quando na verdade a relação exponencial transforma a PG em PA. O candidato que não conhece a propriedade pode tentar calcular os termos de $a_n$ diretamente e se perder, ou pode confundir os valores do primeiro termo e da razão.

Guarde a regra de ouro: se $b_n = k^{a_n}$ e $b_n$ é PG, então $a_n$ é PA, com primeiro termo $\log_k(b_1)$ e razão $\log_k(q)$. É exatamente esse critério que separa as alternativas corretas das incorretas.

Alternativa A — ✅ Correta ⟵ GABARITO

A alternativa afirma que $a_n$ é uma PA com primeiro termo 4 e razão 3. Isso está correto, pois $a_1 = \log_2(16) = 4$ e $r = \log_2(8) = 3$. A sequência $a_n$ é $4, 7, 10, 13, \dots$, que é uma PA de razão 3.

Alternativa B — ❌ Incorreta

A alternativa afirma que $a_n$ é uma PA com primeiro termo 8 e razão 4. O erro está nos valores: o primeiro termo de $a_n$ é 4, não 8, e a razão é 3, não 4. O candidato pode ter confundido os valores de $b_1$ e $q$ com os de $a_1$ e $r$, sem aplicar o logaritmo.

Alternativa C — ❌ Incorreta

A alternativa afirma que $a_n$ é uma PA com primeiro termo 16 e razão 8. Esses são os valores de $b_1$ e $q$ da PG, não de $a_1$ e $r$ da PA. O erro é não ter aplicado a transformação logarítmica.

Alternativa D — ❌ Incorreta

A alternativa afirma que $a_n$ é uma PG com primeiro termo 4 e razão 3. O erro está em classificar $a_n$ como PG. Como vimos, $a_n$ é uma PA, pois a diferença entre termos consecutivos é constante ($7 - 4 = 3$, $10 - 7 = 3$).

Alternativa E — ❌ Incorreta

A alternativa afirma que $a_n$ é uma PG com primeiro termo 8 e razão 4. Além de classificar $a_n$ incorretamente como PG, os valores de primeiro termo e razão também estão errados.

Gabarito: letra A