Questão de Matemática — Geometria Espacial — CESGRANRIO 2024

Geometria espacial: volume do cilindro e do cone

Gabarito: letra B. O volume do cilindro é $V_{cil} = \pi R^2 \cdot 2y = 2\pi R^2 y$ e o do cone é $V_{cone} = \frac{1}{3}\pi (2R)^2 \cdot y = \frac{4}{3}\pi R^2 y$. A razão entre os volumes é $\frac{V_{cone}}{V_{cil}} = \frac{4/3}{2} = \frac{2}{3}$, então o tempo para encher o cone é $\frac{2}{3}$ de 2 h 24 min = 1 h 36 min.

O problema combina duas ideias: o cálculo de volume de sólidos geométricos e a proporcionalidade entre volume e tempo de enchimento com vazão constante. Vamos por partes.

1. O que é volume e por que ele importa aqui?

Volume é a medida do espaço ocupado por um sólido. Quando uma torneira tem vazão constante, ela despeja o mesmo volume de líquido por unidade de tempo. Assim, o tempo necessário para encher um tanque é diretamente proporcional ao seu volume: se um tanque tem o dobro do volume, leva o dobro do tempo; se tem um terço, leva um terço do tempo. Essa é a chave da questão — não precisamos saber a vazão em litros por minuto, apenas a razão entre os volumes.

2. As fórmulas de volume

• Cilindro circular reto: $V = \pi r^2 h$, onde $r$ é o raio da base e $h$ é a altura.

• Cone circular reto: $V = \frac{1}{3} \pi r^2 h$, onde $r$ é o raio da base e $h$ é a altura. O fator $\frac{1}{3}$ aparece porque o cone "cabe" três vezes dentro de um cilindro de mesma base e mesma altura.

3. Aplicando ao problema

O cilindro tem raio $R$ e altura $2y$:

O cone tem raio $2R$ e altura $y$:

A razão entre o volume do cone e o do cilindro é:

Ou seja, o cone tem $\frac{2}{3}$ do volume do cilindro. Como a vazão é a mesma, o tempo de enchimento também será $\frac{2}{3}$ do tempo do cilindro.

4. Convertendo o tempo

O cilindro leva 2 h 24 min. Vamos converter para minutos:

Agora calculamos $\frac{2}{3}$ de 144 min:

Convertendo 96 min de volta para horas e minutos:

Portanto, o cone leva 1 h 36 min.

5. A pegadinha da banca

A banca explora dois erros comuns: (1) esquecer o fator $\frac{1}{3}$ do cone, o que levaria a $V_{cone} = 4\pi R^2 y$ e a um tempo de 2 h 24 min (alternativa D); (2) inverter a razão, calculando $\frac{V_{cil}}{V_{cone}} = \frac{3}{2}$, o que daria 3 h 36 min (alternativa E). O raio do cone é $2R$, então ao elevar ao quadrado obtemos $4R^2$ — outro ponto que pode passar despercebido.

Alternativa A — ❌ Incorreta

1 h 24 min corresponderia a $\frac{7}{12}$ de 144 min, o que não tem relação com a razão entre os volumes. Esse valor não decorre de nenhum cálculo correto com os dados do problema.

Alternativa B — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Como demonstrado, $V_{cone} = \frac{2}{3} V_{cil}$, então o tempo é $\frac{2}{3} \times 144 = 96$ min = 1 h 36 min. A alternativa espelha exatamente a razão entre os volumes.

Alternativa C — ❌ Incorreta

1 h 54 min = 114 min. Esse valor não corresponde a nenhuma fração simples dos 144 min do cilindro que derive das fórmulas de volume. É um distrator numérico sem fundamento.

Alternativa D — ❌ Incorreta

2 h 24 min seria o tempo se o cone tivesse o mesmo volume do cilindro. Isso ocorreria se o fator $\frac{1}{3}$ do cone fosse ignorado e o raio fosse $R$ em vez de $2R$ (pois $\pi R^2 y$ vs. $2\pi R^2 y$). É a armadilha clássica de esquecer o $\frac{1}{3}$.

Alternativa E — ❌ Incorreta

3 h 36 min = 216 min, que é $\frac{3}{2}$ de 144 min. Isso corresponderia a inverter a razão, tratando o cone como se tivesse 1,5 vez o volume do cilindro. Na verdade, o cone tem $\frac{2}{3}$ do volume, não $\frac{3}{2}$.

Regra de ouro: com vazão constante, tempo de enchimento é proporcional ao volume. Calcule os dois volumes, monte a razão e aplique ao tempo conhecido. O fator $\frac{1}{3}$ do cone e o quadrado do raio são os pontos que decidem a questão.

Gabarito: letra B