Questão de Matemática — Progressão Aritmética — CESGRANRIO 2024

Resolução

Gabarito: letra A — a conta chega a N = 44, alternativa A.

A ideia por trás

Uma progressão aritmética (PA) é uma sequência em que a diferença entre um termo e o anterior é sempre a mesma. Essa diferença constante é chamada de razão. Em um tabuleiro, cada linha, coluna e diagonal deve ser uma PA, ou seja, os números devem crescer (ou diminuir) de forma regular ao longo daquela direção.

A propriedade mais útil da PA é que, em três termos consecutivos, o termo do meio é a média aritmética dos outros dois: se (a, b, c) estão em PA, então b = (a + c)/2. Isso vale para qualquer trio de termos consecutivos em qualquer linha, coluna ou diagonal. Além disso, em uma PA de 5 termos, o termo central é a média dos extremos, e também a média de qualquer par simétrico.

Esta questão cobra a aplicação dessa propriedade em várias direções ao mesmo tempo. Precisamos descobrir a posição exata dos números dados no tabuleiro e, a partir das relações de média, montar um sistema que determine N.

O que a questão dá

• tabuleiro 5x5 com 25 casas

• cada linha, coluna e as duas diagonais formam progressões aritméticas

• números dados: 9, 50, N, 85

O que queremos: o valor de N

Passo 1 — Aplicar a média na diagonal principal

A diagonal principal contém a_{11}=9, a_{22}, a_{33}, a_{44}, a_{55}=85. Como é uma PA, o termo central a_{33} é a média dos extremos: a_{33} = (9 + 85)/2 = 47. Isso nos dá um valor para a_{33}.

Por que esta fórmula: Em uma PA de 5 termos, o termo central é a média aritmética do primeiro e do último termo.

De onde vem cada valor: $a_{11}$ = enunciado: 9 · $a_{55}$ = enunciado: 85

Passo 2 — Descobrir a razão da coluna 5

A coluna 5 tem a_{15}, a_{25}=50, a_{35}, a_{45}, a_{55}=85. Como é uma PA, a_{25} e a_{55} estão separados por 3 passos: a_{55} = a_{25} + 3r, onde r é a razão da coluna. Assim, 85 = 50 + 3r, logo r = (85-50)/3 = 35/3. Então a_{15} = 50 - r = 50 - 35/3 = 115/3, e a_{35} = 50 + r = 185/3, a_{45} = 50 + 2r = 220/3.

Por que esta fórmula: Em uma PA, a diferença entre termos é a razão vezes o número de passos.

De onde vem cada valor: $a_{55}$ = enunciado: 85 · $a_{25}$ = enunciado: 50

Passo 3 — Calcular o termo a_{15} da coluna 5

Com a razão da coluna 5 conhecida, podemos achar o primeiro termo a_{15}, que está na diagonal secundária. Isso será útil para relacionar com a_{33}.

Por que esta fórmula: Em uma PA, o termo geral é a_1 + (n-1)r. Aqui, a_{15} é o primeiro termo da coluna, então a_{15} = a_{25} - r.

De onde vem cada valor: $a_{25}$ = enunciado: 50 · $r$ = passo 2: 35/3

Passo 4 — Usar a diagonal secundária para achar a_{51}

A diagonal secundária é a_{15}, a_{24}, a_{33}, a_{42}, a_{51}. Como é uma PA, a_{33} é a média de a_{15} e a_{51}. Já temos a_{15} = 115/3 e a_{33} = 47. Então 47 = (115/3 + a_{51})/2, logo a_{51} = 2*47 - 115/3 = 94 - 115/3 = (282-115)/3 = 167/3.

Por que esta fórmula: Em uma PA de 5 termos, o termo central é a média dos extremos.

De onde vem cada valor: $a_{33}$ = passo 1: 47 · $a_{15}$ = passo 3: 115/3

Passo 5 — Calcular a razão da coluna 1

Agora temos a_{51} = 167/3 e a_{11} = 9. Na coluna 1, a razão é r_1 = (a_{51} - a_{11})/4 = (167/3 - 9)/4 = (167/3 - 27/3)/4 = (140/3)/4 = 35/3. Então N = a_{41} = a_{11} + 3r_1 = 9 + 3*(35/3) = 9 + 35 = 44.

Por que esta fórmula: Em uma PA, o termo geral é a_1 + (n-1)r.

De onde vem cada valor: $a_{51}$ = passo 4: 167/3 · $a_{11}$ = enunciado: 9

Passo 6 — Calcular N usando a coluna 1

Com a razão da coluna 1, podemos achar N, que é o quarto termo da coluna.

Por que esta fórmula: Em uma PA, o termo geral é a_1 + (n-1)r.

De onde vem cada valor: $a_{11}$ = enunciado: 9 · $r_1$ = passo 5: 35/3

Resposta: N = 44, alternativa A