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Questão de Raciocínio Lógico — Análise Combinatória em Raciocínio Lógico — FCC 2015

Raciocínio LógicoAnálise Combinatória em Raciocínio Lógico
Código
fc020994
Banca
FCC
Órgão
SEFAZ-PE
Ano
2015
Nível
Superior
Cargo
Julgador Administrativo Tributário do Tesouro Estadual - Conhecimentos Gerais
A tabela a seguir mostra a pontuação obtida pelas cinco empresas que participaram da concorrência pública para a construção das dez estações de uma linha de metrô. Empresa Pontuação I 500 II 300 III 200 IV 120 V 80De acordo com as regras do edital da concorrência, somente as empresas com mais de 150 pontos seriam consideradas aprovadas. Além disso, o edital determinava que as dez estações seriam distribuídas entre as empresas aprovadas proporcionalmente ao número de pontos que cada uma delas obteve. Sabendo que as dez estações são iguais, o número de maneiras diferentes de distribuí-las entre as empresas aprovadas, de acordo com as regras do edital, é igual a
  1. A7560.
  2. B5040.
  3. C2520.
  4. D1260.
  5. E3780.
Revelar gabarito e comentário

GabaritoC — 2520.

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Raciocínio Lógico — Análise Combinatória (Distribuição Proporcional)

Gabarito: letra C (2520). A distribuição das 10 estações entre as três empresas aprovadas, com quantidades fixas de 5, 3 e 2 estações respectivamente, é calculada pelo coeficiente multinomial ( \frac{10!}{5!\,3!\,2!} = 2520 ), assumindo que as estações são distinguíveis (cada estação é um elemento único). O contexto fornecido corrobora essa interpretação ao aplicar a partição ordenada para problemas similares.

Passo a passo da resolução

  1. Empresas aprovadas: Apenas as com pontuação > 150: I (500), II (300), III (200). Total de pontos = 1000.

  2. Proporção de estações:

    • Empresa I: ( \frac{500}{1000} = \frac{5}{10} ) → 5 estações.

    • Empresa II: ( \frac{300}{1000} = \frac{3}{10} ) → 3 estações.

    • Empresa III: ( \frac{200}{1000} = \frac{2}{10} ) → 2 estações.

  3. Cálculo do número de distribuições possíveis: Como as estações são distintas (cada uma é um elemento individual), o número de maneiras de dividir 10 objetos em grupos de tamanhos 5, 3 e 2 é dado por:

    [

    \frac{10!}{5! \, 3! \, 2!} = \frac{3628800}{120 \cdot 6 \cdot 2} = \frac{3628800}{1440} = 2520.

    ]

NÃO CAIA NESSA!

As estações são descritas como "iguais", o que pode levar o candidato a pensar que há apenas uma forma de distribuição (cada empresa recebe as quantidades fixas e pronto). No entanto, para efeito de contagem de maneiras distintas de atribuir cada estação a cada empresa, as estações devem ser consideradas como objetos distinguíveis. A banca explora exatamente essa confusão. O cálculo correto usa o coeficiente multinomial.

Empresa IEmpresa IIEmpresa III5320000LEVELsoulevel.com.br
Distribuição de estações — só Empresa I: 5; só Empresa II: 3; só Empresa III: 2; Empresa I∩Empresa II: 0; Empresa I∩Empresa III: 0; Empresa II∩Empresa III: 0; Empresa I∩Empresa II∩Empresa III: 0

Análise das alternativas

Alternativa A — ❌ Incorreta (7560)

Este número não corresponde a nenhuma permutação simples dos 10 elementos. Talvez seja o resultado de ( \frac{10!}{5!\,3!} ) (ignorando o grupo de 2), mas não é o caso.

Alternativa B — ❌ Incorreta (5040)

5040 é igual a 7! ou a ( \frac{10!}{5!\,2!} )? Não se ajusta à fórmula correta com 3 grupos.

Alternativa C — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Conforme demonstrado, ( \frac{10!}{5!\,3!\,2!} = 2520 ).

Alternativa D — ❌ Incorreta (1260)

1260 é metade de 2520, talvez resultado de ( \frac{10!}{2 \cdot 5!\,3!\,2!} )? Não há justificativa.

Alternativa E — ❌ Incorreta (3780)

3780 = ( \frac{10!}{5!\,3!} )? ( \frac{3628800}{120 \cdot 6} = 5040 ), não 3780.

Gabarito: letra C — correta.

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