GabaritoD — junho de 1987.
Gabarito: letra D. A última data do século XX (1901-2000) com todos os oito algarismos distintos na forma dd/mm/aaaa ocorreu em junho de 1987. O ano 1987 é o último com quatro dígitos distintos (1,9,8,7) e, nesse ano, apenas o mês de junho (06) permite um dia válido com dígitos distintos (25/06/1987). Nenhuma data posterior (1988 em diante) satisfaz a condição por repetição de algarismos no ano.
O problema exige que os algarismos do dia, mês e ano sejam todos diferentes entre si. No século XX, os anos têm a forma 19ab (exceto 2000, que tem zeros repetidos). Para que o ano tenha quatro algarismos distintos, o par 'ab' não pode conter 1 nem 9, e a e b devem ser diferentes. O maior ano que atende é 1987 (dígitos 1,9,8,7). No ano 1987, os dígitos já utilizados são 1,9,8,7. O mês deve ter dois dígitos distintos entre si e diferentes dos do ano. Os meses possíveis são 02,03,04,05,06 (pois meses com 1,7,8,9 repetiriam). O maior mês disponível é junho (06). Em junho, os dígitos do mês (0 e 6) se somam aos do ano. Os dígitos restantes disponíveis para o dia são {2,3,4,5}. O dia deve ser um número entre 01 e 30, com dois dígitos distintos. O maior dia possível é 25 (dígitos 2 e 5). Assim, a data 25/06/1987 é a última do século com todos os algarismos distintos. Portanto, o mês e ano da última data é junho de 1987.
Março de 1986: ano 1986 (dígitos 1,9,8,6) é anterior a 1987, mas ainda assim poderia haver uma data em 1987 posterior. Portanto, não é a última.
Fevereiro de 1985: ano 1985 (dígitos 1,9,8,5) é anterior a 1987. Não é a última.
Setembro de 1987: mês 09 utiliza o algarismo 9, que já está presente no ano (1,9,8,7). Haveria repetição do 9. Portanto, setembro de 1987 não é possível com todos algarismos distintos.
Junho de 1987: conforme demonstrado, o ano 1987 é o último com dígitos distintos e junho é o mês que permite um dia (25/06/1987) com todos os oito algarismos diferentes. É a última data do século XX que atende à condição.
Agosto de 1986: ano 1986 (dígitos 1,9,8,6) e mês 08 (dígitos 0 e 8) — o 8 repete com o ano. Além disso, é anterior a 1987.
O aluno pode pensar que setembro de 1987 é válido, mas o algarismo 9 do mês repete o 9 do ano. Também pode considerar anos posteriores como 1988, mas eles têm repetição no próprio ano. A chave é verificar que o ano deve ter 4 dígitos distintos e que, a partir de 1987, nenhum ano subsequente atende.
Gabarito: letra D.
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