Questão de Raciocínio Lógico — Problemas Lógicos — FCC 2018

Problemas lógicos — Afirmações falsas

Gabarito: letra E (10). A única caixa que permite descobrir certamente a localização do prêmio é a de número 10. Isso porque, com exatamente uma mensagem verdadeira, as únicas posições possíveis para o prêmio são as caixas 1 e 10. Ao abrir a caixa 10, se o prêmio estiver lá, o participante o vê; se não estiver, ele sabe que só pode estar na caixa 1. Nenhuma outra caixa dentre as opções (3, 5, 6, 7) fornece essa certeza.

Entendendo o problema

Temos 10 caixas em fila, numeradas de 1 a 10. Cada caixa exibe a frase: “Seu prêmio está na caixa ao lado”. Para as extremidades (caixas 1 e 10), “ao lado” é a caixa vizinha (2 e 9, respectivamente). Para as demais (2 a 9), a frase significa “está na caixa anterior ou na posterior” (disjunção). Sabemos que todas as mensagens são falsas, exceto uma. O participante pode abrir uma única caixa, olhar seu interior e depois deve dizer onde está o prêmio. A questão pede qual caixa, ao ser aberta, garante que ele consiga determinar o local com certeza.

Análise lógica das possibilidades

Vamos verificar para cada posição do prêmio quantas mensagens são verdadeiras. Denotemos por $P$ a caixa que contém o prêmio ($1 \leq P \leq 10$).

• Caixa 1: Diz “prêmio na caixa 2”. Verdadeira se $P=2$.

• Caixa 10: Diz “prêmio na caixa 9”. Verdadeira se $P=9$.

• Caixa $i$ (2 a 9): Diz “prêmio na caixa $i-1$ ou $i+1$”. Verdadeira se $P = i-1$ ou $P = i+1$.

Calculamos quantas são verdadeiras para cada $P$:

Portanto, para que haja exatamente uma mensagem verdadeira, as únicas possibilidades são $P=1$ ou $P=10$.

O que ocorre ao abrir cada caixa?

O participante abre uma caixa e vê se o prêmio está ali ou não. Depois, deve decidir onde ele está. Vamos analisar as caixas das alternativas:

• Caixa 3: Se $P=1$, a caixa 3 está vazia; se $P=10$, também está vazia. Logo, ao abrir e encontrar vazia, ele não consegue distinguir entre $P=1$ e $P=10$. Se encontrasse o prêmio, isso seria impossível (pois prêmio nunca está em 3). Então não há certeza.

• Caixa 5: Idem: vazia em ambos os casos, sem informação.

• Caixa 6: Idem.

• Caixa 7: Idem.

• Caixa 10:

  • Se o prêmio está na caixa 10, ao abri-la, ele o encontra e sabe imediatamente.

  • Se o prêmio está na caixa 1, ao abrir a caixa 10, ela está vazia. Como ele sabe que as únicas possibilidades são 1 e 10, e a caixa 10 está vazia, conclui que o prêmio só pode estar na caixa 1.

Assim, abrindo a caixa 10, em qualquer cenário, ele descobre com certeza a localização do prêmio.

Por que as outras não funcionam?

Qualquer caixa que não seja 1 ou 10 (e a caixa 1 não está entre as opções) estará vazia nos dois cenários possíveis, não fornecendo informação discriminante. A caixa 10 é a única que, se vazia, elimina uma das duas possibilidades, e se cheia, revela o prêmio.

Conclusão: O participante certamente descobrirá onde está o prêmio se examinar a caixa 10.

Gabarito: letra E (10).