Questão de Estatística — Estatística descritiva (análise exploratória de dados) — FCC 2019

Propriedades da média, variância e desvio padrão sob transformações lineares

Gabarito: letra B. Ao dividir todos os elementos de uma população por 2, a variância é dividida por $2^2 = 4$, ou seja, multiplicada por 0,25 — exatamente o que afirma a alternativa. As demais alternativas trocam os efeitos das transformações sobre as medidas de tendência central e de dispersão.

A questão cobra as propriedades das medidas sob transformações lineares da forma $Y = aX + b$ (multiplicar por uma constante e/ou somar/subtrair uma constante). Essas propriedades são fundamentais na estatística descritiva e aparecem com frequência em provas de concurso.

Regras gerais:

• Média: $\bar{Y} = a\bar{X} + b$ — a média é afetada tanto pela multiplicação quanto pela adição/subtração.

• Variância: $Var(Y) = a^2 Var(X)$ — a variância é afetada apenas pela multiplicação, e o fator é o quadrado da constante. Somar/subtrair constante não altera a variância.

• Desvio padrão: $DP(Y) = |a| DP(X)$ — o desvio padrão é afetado apenas pela multiplicação, pelo módulo da constante. Somar/subtrair constante não altera o desvio padrão.

A pegadinha clássica da banca é confundir o efeito sobre a variância (que usa o quadrado) com o efeito sobre o desvio padrão (que usa a constante simples), ou afirmar que somar/subtrair constante altera a dispersão.

Alternativa A — ❌ Incorreta

Afirma que multiplicar por 16 resulta em desvio padrão multiplicado por 4. O erro está em usar a raiz quadrada: o desvio padrão é multiplicado por 16, não por 4. O fator 4 seria o efeito sobre a variância (16² = 256, não 16). A confusão é entre o efeito sobre a variância (quadrado) e sobre o desvio padrão (constante simples).

Alternativa B — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Dividir por 2 equivale a multiplicar por $a = 0,5$. A variância é multiplicada por $a^2 = 0,25$. A alternativa está correta ao afirmar que a variância da nova população é igual à variância de P multiplicada por 0,25.

Alternativa C — ❌ Incorreta

Afirma que adicionar uma constante K > 0 mantém a média e a variância iguais às de P. O erro é duplo: a média aumenta em K (não permanece igual), e a variância permanece inalterada (não se iguala ao desvio padrão). A alternativa confunde os efeitos de adição sobre média e dispersão.

Alternativa D — ❌ Incorreta

Afirma que variância e desvio padrão são iguais somente quando todos os elementos são iguais. Na verdade, variância e desvio padrão são iguais quando a variância é 0 ou 1. Se todos os elementos são iguais, a variância é 0 e o desvio padrão também é 0, mas essa não é a única condição. Por exemplo, se a variância for 1, o desvio padrão também será 1, mesmo com elementos diferentes.

Alternativa E — ❌ Incorreta

Afirma que subtrair K de todos os elementos resulta em desvio padrão e média subtraídos de K. O erro está no desvio padrão: subtrair constante não altera o desvio padrão. Apenas a média é subtraída de K. A alternativa confunde o efeito da subtração sobre a média (que é afetada) com o efeito sobre a dispersão (que não é afetada).

Gabarito: letra B