Questão de Matemática — Estatística — FCC 2019

Transformações lineares em medidas estatísticas: média, mediana, variância e desvio padrão

Gabarito: letra E. Quando todos os valores de uma população são multiplicados por uma constante $k$ e depois somados a uma constante $c$, a média, a mediana e a moda são transformadas pela mesma operação (multiplicar por $k$ e somar $c$), enquanto a variância é multiplicada por $k^2$ e o desvio padrão por $k$ — a constante aditiva não afeta as medidas de dispersão. No caso, $k = 1{,}10$ (aumento de 10%) e $c = 500$ (adicional fixo), logo o desvio padrão novo é $1{,}10 \times$ o antigo e a variância nova é $1{,}10^2 = 1{,}21 \times$ a antiga.

A questão explora o efeito de uma transformação linear $Y = kX + c$ sobre as principais medidas-resumo de uma população. Vamos entender cada uma:

• Média aritmética: $\bar{Y} = k\bar{X} + c$. A média sofre exatamente a mesma transformação aplicada aos dados. No problema, a nova média é $1{,}10 \times$ a média antiga mais R$ 500,00.

• Mediana: como a mediana é um valor posicional (o valor central), ela também é transformada linearmente: $Md_Y = k \cdot Md_X + c$. Ou seja, a nova mediana é $1{,}10 \times$ a mediana antiga mais R$ 500,00.

• Variância: a variância mede a dispersão em torno da média. Somar uma constante apenas desloca todos os valores (e a média) igualmente, não alterando a dispersão. Multiplicar por $k$ escala os desvios por $k$, e como a variância é a média dos quadrados dos desvios, ela fica multiplicada por $k^2$. Assim, $Var(Y) = k^2 \cdot Var(X)$. No problema, $k^2 = 1{,}21$.

• Desvio padrão: é a raiz quadrada da variância, portanto $DP(Y) = k \cdot DP(X)$. No problema, o novo desvio padrão é $1{,}10 \times$ o antigo.

A pegadinha clássica da banca é tentar somar a constante aditiva (R$ 500,00) também às medidas de dispersão, o que é incorreto: a dispersão não muda com a adição de uma constante. Outra pegadinha é esquecer de elevar $k$ ao quadrado na variância.

Alternativa A — ❌ Incorreta

Afirma que o desvio padrão novo é o antigo multiplicado por 1,10 acrescido de R$ 500,00. O erro está em somar a constante aditiva ao desvio padrão. A constante $c$ não afeta a dispersão; o desvio padrão novo é apenas $1{,}10 \times$ o antigo.

Alternativa B — ❌ Incorreta

Afirma que a variância nova é a antiga multiplicada por 1,21 acrescida de 250.000 (R$)². O erro é o mesmo: somar o quadrado da constante aditiva ($500^2 = 250.000$) à variância. A constante aditiva não altera a variância; ela é apenas multiplicada por $k^2 = 1{,}21$.

Alternativa C — ❌ Incorreta

Diz que a média aritmética nova é a antiga acrescida de R$ 500,00. Esquece o fator multiplicativo de 10%. A transformação completa é $\bar{Y} = 1{,}10 \cdot \bar{X} + 500$, não apenas $\bar{X} + 500$.

Alternativa D — ❌ Incorreta

Diz que a mediana nova é a antiga acrescida de R$ 500,00. Mesmo erro da alternativa C: a mediana também é multiplicada por 1,10 antes de somar 500. A mediana nova é $1{,}10 \cdot Md_X + 500$.

Alternativa E — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Afirma corretamente que o desvio padrão novo é o antigo multiplicado por 1,10 e a variância nova é a antiga multiplicada por 1,21. Isso decorre das propriedades da transformação linear: a constante aditiva não afeta a dispersão, e o fator multiplicativo $k$ entra linearmente no desvio padrão e quadraticamente na variância.

Gabarito: letra E