Pular para o conteúdo principal

Questão de Matemática — Aritmética e Problemas — FCC 2019

MatemáticaAritmética e Problemas
Código
fc054391
Banca
FCC
Órgão
Prefeitura de Recife - PE
Ano
2019
Cargo
Assistente de Gestão Pública
O processo de controle de qualidade da fabricação de um determinado produto em uma fábrica é composto de no mínimo 2 e no máximo 3 etapas. Em cada etapa, são aprovadas 80% das unidades do produto. Duas aprovações ao longo do processo habilitam a unidade do produto a ser comercializada. Duas reprovações resultam no descarte da unidade. Ao final do processo, a porcentagem de unidades que são habilitadas para comercialização é de
  1. A90,6%.
  2. B96%.
  3. C98, 8%
  4. D89,6%
  5. E94,9%
Revelar gabarito e comentário

GabaritoD — 89,6%

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Resolução

Gabarito: letra D — a conta chega a 89,6% (alternativa D).

A ideia por trás

Este problema trata de probabilidade de eventos independentes e de porcentagem. Probabilidade mede a chance de um evento ocorrer, variando de 0 (impossível) a 1 (certo); porcentagem é essa chance expressa em relação a 100. Quando várias etapas são independentes, a probabilidade de uma sequência específica é o produto das probabilidades de cada etapa. Por exemplo, se a chance de aprovar é 0,8, a chance de aprovar duas vezes seguidas é 0,8 × 0,8 = 0,64. Além disso, quando há várias ordens possíveis para o mesmo resultado (como duas aprovações e uma reprovação), multiplicamos a probabilidade de uma ordem pelo número de ordens. Nesta questão, precisamos somar as probabilidades de todas as sequências que dão pelo menos duas aprovações, considerando que o processo pode ter 2 ou 3 etapas. A interpretação usual é que todas as unidades passam por 3 etapas, pois o processo é composto de no mínimo 2 e no máximo 3, e o resultado final deve ser único.

O que a questão dá

  • probabilidade de aprovação em cada etapa = 80% = 0,8

  • probabilidade de reprovação em cada etapa = 20% = 0,2

  • número de etapas: 2 ou 3

  • condição para comercializar: pelo menos 2 aprovações

O que queremos: a porcentagem de unidades habilitadas para comercialização ao final do processo

Passo 1 — Calcular a chance de aprovar nas duas etapas

No cenário com 2 etapas, a única forma de ter pelo menos duas aprovações é aprovar nas duas. Como as etapas são independentes, a probabilidade de ambas ocorrerem é o produto das probabilidades individuais.

Por que esta fórmula: Para eventos independentes, a probabilidade de ambos ocorrerem é o produto das probabilidades de cada um. Aqui, cada etapa tem probabilidade 0,8 de aprovação.

P(AA)=p×pP(AA) = p \times p

De onde vem cada valor: pp = enunciado: 80% = 0,8

P(AA)=0,8×0,8=0,64P(AA) = 0{,}8 \times 0{,}8 = \boxed{0{,}64}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de multiplicar as probabilidades e somar 0,8 + 0,8 = 1,6, o que daria mais de 100%.

Passo 2 — Calcular a chance de aprovar em três etapas

No cenário com 3 etapas, uma forma de ter pelo menos duas aprovações é aprovar em todas as três. Precisamos calcular essa probabilidade para somar com os outros casos favoráveis.

Por que esta fórmula: Novamente, eventos independentes: a probabilidade de três aprovações consecutivas é o produto das três probabilidades.

P(AAA)=p3P(AAA) = p^{3}

De onde vem cada valor: pp = enunciado: 0,8

P(AAA)=0,83=0,512P(AAA) = 0{,}8^{3} = \boxed{0{,}512}
NÃO CAIA NESSA!

Calcular 0,8 × 3 = 2,4, confundindo probabilidade com soma.

Passo 3 — Calcular a chance de exatamente duas aprovações em três etapas

Além de três aprovações, também é possível ter exatamente duas aprovações e uma reprovação. Como a reprovação pode ocorrer em qualquer uma das três posições, precisamos considerar todas as ordens possíveis.

Por que esta fórmula: A probabilidade de uma ordem específica (como AAR) é p × p × q. Como há 3 ordens possíveis (AAR, ARA, RAA), multiplicamos por 3.

P(2A,1R)=3×p2×qP(2A,1R) = 3 \times p^{2} \times q

De onde vem cada valor: pp = enunciado: 0,8 · qq = enunciado: 0,2 · 33 = número de ordens possíveis para duas aprovações e uma reprovação

P(2A,1R)=3×0,82×0,2=0,384P(2A,1R) = 3 \times 0{,}8^{2} \times 0{,}2 = \boxed{0{,}384}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de multiplicar por 3, contando apenas uma ordem, o que daria 0,128.

Passo 4 — Somar as probabilidades favoráveis de três etapas

Com três etapas, os casos favoráveis são ter três aprovações ou exatamente duas aprovações. Como são mutuamente exclusivos, somamos as probabilidades.

Por que esta fórmula: A probabilidade de um ou outro evento ocorrer é a soma das probabilidades individuais, desde que não possam ocorrer ao mesmo tempo.

P3etapas=P(AAA)+P(2A,1R)P_{3etapas} = P(AAA) + P(2A,1R)

De onde vem cada valor: P(AAA)P(AAA) = passo 2: 0,512 · P(2A,1R)P(2A,1R) = passo 3: 0,384

P3etapas=0,512+0,384=0,896P_{3etapas} = 0{,}512 + 0{,}384 = \boxed{0{,}896}
NÃO CAIA NESSA!

Somar também o caso de uma aprovação e duas reprovações, o que não atende à condição de pelo menos duas aprovações.

Passo 5 — Converter a probabilidade em porcentagem

O enunciado pede a porcentagem de unidades habilitadas. Como a probabilidade de sucesso com três etapas é 0,896, precisamos expressá-la como porcentagem, multiplicando por 100.

Por que esta fórmula: Porcentagem é a probabilidade multiplicada por 100, pois 1 = 100%.

%=P×100\% = P \times 100

De onde vem cada valor: PP = passo 4: 0,896

%=0,896×100=89,6 %\% = 0{,}896 \times 100 = \boxed{89{,}6\ \%}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de multiplicar por 100 e responder 0,896%.

Resposta: 89,6% (alternativa D)

Link permanente: /questoes/fc054391