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Questão de Matemática — Progressões — FCC 2019

MatemáticaProgressões
Código
fc054403
Banca
FCC
Órgão
Prefeitura de Recife - PE
Ano
2019
Cargo
Assistente de Gestão Pública
Todos os habitantes de um determinado município devem receber uma carta da prefeitura, entregue em mãos, mediante assinatura de um protocolo. Para realizar o trabalho de distribuição dessas cartas, a prefeitura contratou pessoas que serão remuneradas por número de entregas realizadas. Cada contratado recebeu um lote de 255 cartas a serem entregues. Sua remuneração se dará da seguinte maneira: para as primeiras 128 cartas, receberá um real por carta entregue; para as 64 seguintes, receberá 2 reais por carta entregue; para as 32 seguintes, 4 reais por carta, e assim por diante, dobrando-se a remuneração, por carta entregue, para o cumprimento de metade da parte da tarefa que acabou de realizar, de modo que pela entrega da última carta receberá 128 reais. O número mínimo de cartas que um contratado deve entregar para receber pelo menos 500 reais é
  1. A225.
  2. B213.
  3. C247.
  4. D239.
  5. E231.
Revelar gabarito e comentário

GabaritoD — 239.

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Resolução

Gabarito: letra D — a conta chega a 239 cartas (alternativa D).

A ideia por trás

Este problema envolve progressões geométricas (PG). Uma PG é uma sequência em que cada termo é obtido multiplicando o anterior por uma razão constante. Aqui, a quantidade de cartas em cada bloco forma uma PG de razão 1/2 (128, 64, 32, ...), pois cada bloco tem metade das cartas do anterior. Já o valor pago por carta em cada bloco forma uma PG de razão 2 (1, 2, 4, ...), pois dobra a cada bloco. O total pago por bloco é o produto da quantidade de cartas pelo valor por carta, e nesse caso esse produto é constante: 128×1 = 64×2 = 32×4 = ... = 128 reais por bloco. Isso significa que cada bloco completo paga exatamente R$ 128,00, independentemente do tamanho do bloco. Para saber quantos blocos completos são necessários para atingir R$ 500,00, dividimos 500 por 128, obtendo aproximadamente 3,9, ou seja, precisamos de 4 blocos completos para passar de R$ 500,00. No entanto, o problema pede o número mínimo de cartas, então podemos parar no meio do 4º bloco, desde que a remuneração acumulada atinja R$ 500,00. A solução envolve calcular a soma das cartas dos blocos completos e, se necessário, adicionar cartas parciais do bloco seguinte.

O que a questão dá

  • lote de 255 cartas

  • primeiras 128 cartas: R$ 1,00 por carta

  • 64 seguintes: R$ 2,00 por carta

  • 32 seguintes: R$ 4,00 por carta

  • dobra a cada bloco, última carta: R$ 128,00

  • meta: receber pelo menos R$ 500,00

O que queremos: o número mínimo de cartas a entregar para receber pelo menos R$ 500,00

Passo 1 — Calcular o total pago por bloco completo

Precisamos entender quanto cada bloco paga, pois isso determina quantos blocos completos são necessários para chegar perto de R$ 500,00. Como a quantidade de cartas diminui pela metade e o valor por carta dobra, o produto (cartas × valor) permanece constante.

Por que esta fórmula: O total pago em um bloco é o número de cartas vezes o valor por carta. Como os dois variam inversamente (um dobra, o outro reduz pela metade), o produto é constante.

Pbloco=ncartas×vcartaP_{bloco} = n_{cartas} \times v_{carta}

De onde vem cada valor: ncartasn_{cartas} = enunciado: 128 cartas no primeiro bloco · vcartav_{carta} = enunciado: R$ 1,00 no primeiro bloco

Pbloco=128×1P_{bloco} = 128 \times 1

PblocoP_{bloco} = R$ 128,00 por bloco

NÃO CAIA NESSA!

Achar que o total varia de bloco para bloco, mas ele é sempre R$ 128,00.

Passo 2 — Descobrir quantos blocos completos são necessários

Com o valor por bloco conhecido, podemos ver quantos blocos completos são precisos para atingir R$ 500,00. Dividimos a meta pelo valor de cada bloco.

Por que esta fórmula: Para saber quantas vezes um valor cabe em outro, usamos a divisão. O resultado indica quantos blocos completos cabem.

nblocos=500128n_{blocos} = \frac{500}{128}

De onde vem cada valor: 500500 = enunciado: meta de receber pelo menos R$ 500,00 · 128128 = passo 1: valor pago por bloco completo

nblocos=500128=3,90625 blocosn_{blocos} = \frac{500}{128} = \boxed{3{,}90625\ \text{blocos}}
NÃO CAIA NESSA!

Arredondar para 3, mas precisamos de 4 para ultrapassar R$ 500,00.

Passo 3 — Calcular cartas e remuneração de 3 blocos completos

Como 3 blocos completos não atingem R$ 500,00 (3×128 = 384), precisamos saber quantas cartas isso representa e quanto falta para a meta.

Por que esta fórmula: A soma dos primeiros termos de uma PG é dada por S_n = a_1 * (1 - r^n) / (1 - r), mas aqui podemos somar diretamente: 128 + 64 + 32 = 224.

Scartas=128+64+32S_{cartas} = 128 + 64 + 32

De onde vem cada valor: 128128 = enunciado: primeiro bloco · 6464 = enunciado: segundo bloco · 3232 = enunciado: terceiro bloco

Scartas=128+64+32=224 cartasS_{cartas} = 128 + 64 + 32 = \boxed{224\ \text{cartas}}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de somar os três blocos e usar apenas o primeiro.

Passo 4 — Calcular quanto falta para atingir R$ 500,00

Com 3 blocos completos, a remuneração é R$ 384,00. Precisamos saber quanto falta para chegar a R$ 500,00, para então decidir quantas cartas do 4º bloco são necessárias.

Por que esta fórmula: A diferença entre a meta e o que já temos indica o valor que precisamos obter com as cartas adicionais.

Falta=500−384Falta = 500 - 384

De onde vem cada valor: 500500 = enunciado: meta · 384384 = passo 3: 3 blocos × R$ 128,00

Falta=500−384Falta = 500 - 384

FaltaFalta = R$ 116,00

NÃO CAIA NESSA!

Usar 500 - 512, mas 512 é com 4 blocos completos, que não é o mínimo.

Passo 5 — Calcular quantas cartas do 4º bloco são necessárias

O 4º bloco tem 16 cartas e paga R$ 8,00 por carta. Precisamos saber quantas cartas desse bloco devemos entregar para obter R$ 116,00.

Por que esta fórmula: O valor obtido com um certo número de cartas é o produto do número de cartas pelo valor por carta. Para achar o número de cartas, dividimos o valor necessário pelo valor por carta.

ncartas4=Faltavcarta4n_{cartas4} = \frac{Falta}{v_{carta4}}

De onde vem cada valor: FaltaFalta = passo 4: R$ 116,00 · vcarta4v_{carta4} = enunciado: 4º bloco paga R$ 8,00 por carta (dobro de R$ 4,00)

ncartas4=1168=14,5 cartasn_{cartas4} = \frac{116}{8} = \boxed{14{,}5\ \text{cartas}}
NÃO CAIA NESSA!

Arredondar para 14, mas 14 cartas dão apenas R$ 112,00, insuficiente.

Passo 6 — Arredondar para cima o número de cartas

Como não podemos entregar meia carta, precisamos de um número inteiro. Para garantir pelo menos R$ 500,00, devemos arredondar para cima, pois 14 cartas não são suficientes.

Por que esta fórmula: Em problemas de quantidade mínima, quando o resultado não é inteiro, arredondamos para cima para atender à condição.

ncartas4=⌈14,5⌉n_{cartas4} = \lceil 14{,}5 \rceil

De onde vem cada valor: 14,514{,}5 = passo 5: resultado da divisão

ncartas4=15=15 cartasn_{cartas4} = 15 = \boxed{15\ \text{cartas}}
NÃO CAIA NESSA!

Arredondar para baixo, resultando em remuneração abaixo de R$ 500,00.

Passo 7 — Somar as cartas dos blocos completos e parciais

O total de cartas é a soma das cartas dos 3 blocos completos com as cartas do 4º bloco. Isso nos dá o número mínimo procurado.

Por que esta fórmula: A soma total é a adição das quantidades de cada parte.

Total=224+15Total = 224 + 15

De onde vem cada valor: 224224 = passo 3: cartas dos 3 primeiros blocos · 1515 = passo 6: cartas do 4º bloco

Total=224+15=239 cartasTotal = 224 + 15 = \boxed{239\ \text{cartas}}
NÃO CAIA NESSA!

Usar 240 (4 blocos completos) em vez de 239, pois 240 não é o mínimo.

Resposta: 239 cartas (alternativa D)

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