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Questão de Matemática — Álgebra — FCC 2019

MatemáticaÁlgebra
Código
fc056615
Banca
FCC
Órgão
SEFAZ-BA
Ano
2019
Cargo
Auditor Fiscal - Administração Tributária - Prova II
Um grupo de trabalho formado por 20 funcionários foi incumbido de realizar uma tarefa no prazo de 30 dias, trabalhando 6 horas por dia. Como no final do 18° dia apenas 3/7 da tarefa haviam sido concluídos, decidiu-se aumentar o número de funcionários do grupo a partir do 19° dia, trabalhando 8 horas por dia. Sabe-se que todos os funcionários trabalharam com desempenho igual, e que as demais condições mantiveram-se constantes.Considerando que toda a tarefa foi concluída no final do prazo estabelecido, tem-se que o número de funcionários que foram incorporados ao grupo a partir do 19° dia foi
  1. A6.
  2. B12.
  3. C4.
  4. D10.
  5. E8.
Revelar gabarito e comentário

GabaritoD — 10.

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Resolução

Gabarito: letra D — a conta chega a 10 funcionários (alternativa D).

A ideia por trás

A regra de três composta é o método para problemas com três ou mais grandezas relacionadas. Aqui temos quatro grandezas: número de funcionários, dias trabalhados, horas por dia e fração da tarefa concluída. O passo inicial é identificar quais grandezas são diretamente proporcionais entre si e quais são inversamente proporcionais — esse é o ponto que decide o acerto.

Na regra de três composta, quando uma grandeza aumenta e outra também aumenta (na mesma proporção), elas são diretamente proporcionais; quando uma aumenta e a outra diminui, são inversamente proporcionais. Aqui, mais funcionários significam menos dias e menos horas diárias para a mesma tarefa, então funcionários é inversamente proporcional a dias e a horas. Já mais tarefa exige mais funcionários, então funcionários é diretamente proporcional à fração da tarefa.

Nesta questão, precisamos montar a proporção entre a situação inicial (18 dias, 6 h/dia, 3/7 da tarefa, 20 funcionários) e a situação final (12 dias, 8 h/dia, 4/7 da tarefa, 20+x funcionários), invertendo as razões das grandezas inversamente proporcionais.

O que a questão dá

  • 20 funcionários

  • 30 dias de prazo

  • 6 horas por dia

  • 18 dias trabalhados

  • 3/7 da tarefa concluída

  • 8 horas por dia a partir do 19º dia

  • tarefa concluída no prazo

O que queremos: o número de funcionários incorporados ao grupo a partir do 19º dia

Passo 1 — Calcular os dias restantes

Precisamos saber quantos dias o grupo ampliado terá para terminar a tarefa. O prazo total é 30 dias e já se passaram 18, então a diferença dá o tempo que falta.

Por que esta fórmula: A subtração é a operação que encontra o restante: total menos o que já foi usado.

drest=30−18d_{rest} = 30 - 18

De onde vem cada valor: 3030 = enunciado: prazo de 30 dias · 1818 = enunciado: final do 18º dia

drest=30−18=12 diasd_{rest} = 30 - 18 = \boxed{12\ \text{dias}}
NÃO CAIA NESSA!

Usar 30 - 18 = 12, mas esquecer que são dias corridos, não dias úteis.

Passo 2 — Calcular a fração restante da tarefa

Se 3/7 da tarefa já foram feitos, o que falta é o complemento. Precisamos dessa fração para comparar com a situação inicial.

Por que esta fórmula: A fração restante é o total (1) menos a fração já concluída.

frest=1−37f_{rest} = 1 - \frac{3}{7}

De onde vem cada valor: 11 = a tarefa inteira · 37\frac{3}{7} = enunciado: 3/7 da tarefa concluída

frest=1−37=77−37=47=4 /7datarefaf_{rest} = 1 - \frac{3}{7} = \frac{7}{7} - \frac{3}{7} = \frac{4}{7} = \boxed{4\ /7 \text{da} \text{tarefa}}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de subtrair de 1 e usar 3/7 como fração restante.

Passo 3 — Montar a tabela de grandezas

Para aplicar a regra de três composta, precisamos organizar os dados em duas situações: a inicial (18 dias, 6 h/dia, 3/7 da tarefa, 20 funcionários) e a final (12 dias, 8 h/dia, 4/7 da tarefa, 20+x funcionários). Isso permite comparar as grandezas.

NÃO CAIA NESSA!

Trocar os valores de dias ou horas entre as situações.

Passo 4 — Analisar as proporcionalidades

A regra de três composta exige saber quais grandezas são diretas e quais são inversas em relação à incógnita (funcionários). Isso decide quais razões serão invertidas na proporção.

NÃO CAIA NESSA!

Tratar todas as grandezas como diretamente proporcionais, sem inverter dias e horas.

Passo 5 — Montar a proporção

Com as proporcionalidades identificadas, montamos a equação que relaciona as duas situações. A razão dos funcionários é igual ao produto das razões das outras grandezas, invertendo as que são inversamente proporcionais.

Por que esta fórmula: Na regra de três composta, a razão da grandeza desconhecida é igual ao produto das razões das demais, invertendo as que são inversamente proporcionais. Aqui, dias e horas são inversos, então invertemos suas razões; a tarefa é direta, então mantemos.

2020+x=1218×86×3/74/7\frac{20}{20+x} = \frac{12}{18} \times \frac{8}{6} \times \frac{3/7}{4/7}

De onde vem cada valor: 2020 = enunciado: 20 funcionários · 20+x20+x = incógnita: grupo ampliado · 1218\frac{12}{18} = passo 1: dias restantes / dias iniciais · 86\frac{8}{6} = enunciado: horas finais / horas iniciais · 3/74/7\frac{3/7}{4/7} = passo 2: fração inicial / fração restante

2020+x=1218×86×3/74/7\frac{20}{20+x} = \frac{12}{18} \times \frac{8}{6} \times \frac{3/7}{4/7}
NÃO CAIA NESSA!

Não inverter as razões de dias e horas, ou inverter a da tarefa.

Passo 6 — Simplificar as frações

Para resolver a equação, simplificamos as frações do lado direito, tornando a conta mais fácil.

Por que esta fórmula: Simplificar frações significa dividir numerador e denominador por um fator comum. Aqui, 12/18 = 2/3, 8/6 = 4/3, e (3/7)/(4/7) = 3/4.

1218=23,86=43,3/74/7=34\frac{12}{18} = \frac{2}{3}, \quad \frac{8}{6} = \frac{4}{3}, \quad \frac{3/7}{4/7} = \frac{3}{4}

De onde vem cada valor: 1218\frac{12}{18} = passo 5 · 86\frac{8}{6} = passo 5 · 3/74/7\frac{3/7}{4/7} = passo 5

2020+x=23×43×34\frac{20}{20+x} = \frac{2}{3} \times \frac{4}{3} \times \frac{3}{4}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de simplificar e multiplicar números grandes.

Passo 7 — Multiplicar as frações

Multiplicamos as frações simplificadas para obter um único número do lado direito, que será comparado com a razão dos funcionários.

Por que esta fórmula: Multiplicação de frações: multiplica numeradores e denominadores. Note que 4/3 × 3/4 = 1, pois são inversos.

23×43×34=23×1=23\frac{2}{3} \times \frac{4}{3} \times \frac{3}{4} = \frac{2}{3} \times 1 = \frac{2}{3}

De onde vem cada valor: 23\frac{2}{3} = passo 6 · 43\frac{4}{3} = passo 6 · 34\frac{3}{4} = passo 6

23×43×34=23=2 /3\frac{2}{3} \times \frac{4}{3} \times \frac{3}{4} = \frac{2}{3} = \boxed{2\ /3}
NÃO CAIA NESSA!

Multiplicar errado, por exemplo, esquecer que 4/3 × 3/4 = 1.

Passo 8 — Resolver a equação para x

Agora temos uma equação simples: 20/(20+x) = 2/3. Precisamos isolar x para descobrir quantos funcionários foram incorporados.

Por que esta fórmula: Multiplicação cruzada: se a/b = c/d, então a·d = b·c. Isso elimina as frações e permite isolar x.

20×3=2×(20+x)20 \times 3 = 2 \times (20+x)

De onde vem cada valor: 2020 = passo 5 · 33 = denominador de 2/3 · 22 = numerador de 2/3 · 20+x20+x = passo 5

20×3=2×(20+x)20 \times 3 = 2 \times (20+x)
NÃO CAIA NESSA!

Errar a multiplicação cruzada, por exemplo, fazer 20×2 = 3×(20+x).

Passo 9 — Isolar x

Com a equação 60 = 40 + 2x, subtraímos 40 dos dois lados e dividimos por 2 para encontrar x.

Por que esta fórmula: Para isolar x, fazemos operações inversas: subtração para desfazer a adição, divisão para desfazer a multiplicação.

60=40+2x⇒2x=20⇒x=1060 = 40 + 2x \Rightarrow 2x = 20 \Rightarrow x = 10

De onde vem cada valor: 6060 = passo 8: 20×3 · 4040 = passo 8: 2×20 · 22 = coeficiente de x

60=40+2x⇒2x=20⇒x=10=10 funcionaˊrios60 = 40 + 2x \Rightarrow 2x = 20 \Rightarrow x = 10 = \boxed{10\ \text{funcion}á\text{rios}}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de subtrair 40 dos dois lados, ou dividir errado.

Resposta: 10 funcionários (alternativa D)

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