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Questão de Raciocínio Lógico — Diagramas de Venn (Conjuntos) — FCC 2019

Raciocínio LógicoDiagramas de Venn (Conjuntos)
Código
fc056617
Banca
FCC
Órgão
SEFAZ-BA
Ano
2019
Cargo
Auditor Fiscal - Administração Tributária - Prova II
Os ministérios A, B e C do Governo Federal de determinado país foram fundidos em um só. Para o novo ministério, foram alocados 300 assessores especiais, alguns deles com passagens em mais de um desses três ministérios. Os que haviam trabalhado em exatamente dois dentre os três ministérios antigos eram 171. Os que haviam trabalhado nos três ministérios antigos eram 17. Os que haviam trabalhado apenas no Ministério A eram 52. Os que haviam trabalhado no ministério B e no C eram 84, enquanto os que haviam trabalhado no ministério A e no C eram 64. O número total dos assessores que haviam trabalhado apenas no ministério B ou apenas no C é igual a
  1. A23.
  2. B60.
  3. C100.
  4. D112.
  5. E141.
Revelar gabarito e comentário

GabaritoB — 60.

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Resolução

Gabarito: letra B — a conta chega a 60 (alternativa B).

A ideia por trás

Em problemas de conjuntos, o diagrama de Venn divide o universo em regiões que não se sobrepõem: cada elemento pertence a exatamente uma região. Aqui, o universo é o grupo de 300 assessores, e os conjuntos são os ministérios A, B e C. As regiões internas são: apenas A, apenas B, apenas C, A∩B (sem C), A∩C (sem B), B∩C (sem A) e A∩B∩C. A soma de todas essas regiões mais a região externa (nenhum ministério) é o total. A chave é que as informações dadas às vezes incluem o triplo (por exemplo, 'B e C' inclui quem também está em A), então precisamos subtrair o triplo para obter a região 'apenas dois'. A soma de todas as regiões conhecidas, subtraída do total, revela a soma das regiões desconhecidas, que é o que a questão pede.

O que a questão dá

  • total de assessores = 300

  • exatamente dois ministérios = 171

  • os três ministérios = 17

  • apenas A = 52

  • B e C (incluindo os três) = 84

  • A e C (incluindo os três) = 64

O que queremos: o número total de assessores que trabalharam apenas no ministério B ou apenas no C

Passo 1 — Calcular a interseção B∩C sem o triplo

O enunciado diz que 84 assessores trabalharam em B e C, mas esse número inclui os 17 que trabalharam nos três. Para usar a informação de 'exatamente dois', precisamos da região que é só B∩C, sem o triplo.

Por que esta fórmula: A região 'B∩C' dada inclui o triplo, então subtraímos o triplo para obter a parte que é apenas B e C.

B∩C (apenas)=(B∩C)−(A∩B∩C)B \cap C \text{ (apenas)} = (B \cap C) - (A \cap B \cap C)

De onde vem cada valor: B∩CB \cap C = enunciado: 84 · A∩B∩CA \cap B \cap C = enunciado: 17

84−17=67=6784 - 17 = 67 = \boxed{67}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de subtrair o triplo e usar 84 como se fosse apenas B∩C.

Passo 2 — Calcular a interseção A∩C sem o triplo

Assim como no passo anterior, o valor 64 de A∩C inclui o triplo. Precisamos da região apenas A∩C para somar com as outras regiões 'exatamente dois'.

Por que esta fórmula: Mesma lógica: subtrair o triplo da interseção dada.

A∩C (apenas)=(A∩C)−(A∩B∩C)A \cap C \text{ (apenas)} = (A \cap C) - (A \cap B \cap C)

De onde vem cada valor: A∩CA \cap C = enunciado: 64 · A∩B∩CA \cap B \cap C = enunciado: 17

64−17=47=4764 - 17 = 47 = \boxed{47}
NÃO CAIA NESSA!

Confundir A∩C com B∩C e usar o valor errado.

Passo 3 — Calcular a interseção A∩B sem o triplo

Sabemos que a soma das três regiões 'exatamente dois' é 171. Já temos B∩C puro (67) e A∩C puro (47), então podemos descobrir A∩B puro subtraindo esses dois do total.

Por que esta fórmula: A soma das três regiões de 'exatamente dois' é dada, então isolamos a que falta.

A∩B (apenas)=171−(B∩C apenas)−(A∩C apenas)A \cap B \text{ (apenas)} = 171 - (B \cap C \text{ apenas}) - (A \cap C \text{ apenas})

De onde vem cada valor: 171171 = enunciado: exatamente dois = 171 · B∩C apenasB \cap C \text{ apenas} = passo 1: 67 · A∩C apenasA \cap C \text{ apenas} = passo 2: 47

171−67−47=57=57171 - 67 - 47 = 57 = \boxed{57}
NÃO CAIA NESSA!

Usar os valores com o triplo (84 e 64) em vez dos purificados.

Passo 4 — Somar todas as regiões conhecidas

Para descobrir o que falta, precisamos saber quanto já está preenchido no diagrama. Somamos as regiões que conhecemos: apenas A, o triplo, e as três interseções duplas puras.

Por que esta fórmula: A soma das regiões conhecidas é a soma de cada parte que já temos.

Sconhecidas=Aapenas+(A∩B∩C)+(B∩C)apenas+(A∩C)apenas+(A∩B)apenasS_{conhecidas} = A_{apenas} + (A \cap B \cap C) + (B \cap C)_{apenas} + (A \cap C)_{apenas} + (A \cap B)_{apenas}

De onde vem cada valor: AapenasA_{apenas} = enunciado: 52 · A∩B∩CA \cap B \cap C = enunciado: 17 · (B∩C)apenas(B \cap C)_{apenas} = passo 1: 67 · (A∩C)apenas(A \cap C)_{apenas} = passo 2: 47 · (A∩B)apenas(A \cap B)_{apenas} = passo 3: 57

52+17+67+47+57=240=24052 + 17 + 67 + 47 + 57 = 240 = \boxed{240}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de incluir o triplo ou usar as interseções com o triplo em vez das puras.

Passo 5 — Subtrair do total para achar a soma pedida

O total de assessores é 300. A soma das regiões conhecidas é 240. A diferença é exatamente a soma das regiões 'apenas B' e 'apenas C', que é o que a questão pede.

Por que esta fórmula: O total é a soma de todas as regiões internas (mais a externa, que aqui é zero, pois todos trabalharam em algum ministério). Portanto, subtraímos as conhecidas do total.

Bapenas+Capenas=300−SconhecidasB_{apenas} + C_{apenas} = 300 - S_{conhecidas}

De onde vem cada valor: 300300 = enunciado: total de assessores · SconhecidasS_{conhecidas} = passo 4: 240

300−240=60=60300 - 240 = 60 = \boxed{60}
NÃO CAIA NESSA!

Subtrair de forma errada ou esquecer de considerar que a soma pedida é a soma das duas regiões.

Resposta: 60 (alternativa B)

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