Questão de Matemática — Aritmética e Problemas — FCC 2019

Resolução

Gabarito: letra D — a conta chega a R$ 250 mil — alternativa D.

A ideia por trás

A divisão proporcional reparte um total (lucro, prejuízo, herança) na razão das partes de cada um. Cada pessoa recebe uma fração do total igual à sua parte dividida pela soma de todas as partes. A unidade é a mesma do total (reais, kg, etc.).

A regra é: parte de cada um = (sua parcela / soma das parcelas) × total. Se uma parcela cresce, a fração e o valor recebido crescem; se a soma cresce, a fração de cada um diminui. É válida sempre que a divisão for diretamente proporcional às parcelas.

Nesta questão, as parcelas são os capitais investidos, mas só conhecemos as relações entre eles. Por isso, o primeiro passo é escrever todos os capitais em função de um só (o de A), somá-los e então calcular a fração de A.

O que a questão dá

• sócio B investiu o dobro de A

• sócio C investiu uma vez e meia o capital de B

• lucro total = R$ 1.500.000

O que queremos: o valor que o sócio A receberia, em mil reais

Passo 1 — Expressar os capitais em função de A

Para dividir o lucro proporcionalmente, precisamos saber quanto cada sócio investiu em relação aos outros. Como o enunciado só dá relações (dobro, uma vez e meia), escolhemos o capital de A como referência e escrevemos B e C a partir dele.

Por que esta fórmula: B é o dobro de A, então B = 2A. C é uma vez e meia o capital de B, ou seja, C = 1,5 × B. Como B = 2A, substituímos: C = 1,5 × 2A = 3A.

De onde vem cada valor: $A$ = enunciado: capital do sócio A (referência) · $B$ = enunciado: sócio B participou com o dobro do capital de A · $C$ = enunciado: sócio C participou com uma vez e meia o capital de B

B = 2A, C = 3A

Passo 2 — Somar os capitais para achar o total

A fração que cada sócio recebe é a razão entre o seu capital e o capital total. Para achar o capital total, somamos as três partes, todas em função de A.

Por que esta fórmula: O capital total é a soma dos capitais individuais: A + B + C. Substituindo B e C pelos valores do passo 1, temos A + 2A + 3A.

De onde vem cada valor: $A$ = passo 1 · $B$ = passo 1: 2A · $C$ = passo 1: 3A

Passo 3 — Calcular a fração do sócio A

Na divisão proporcional, cada sócio recebe uma fração do lucro igual à sua parte dividida pelo total. Com o capital total em mãos, calculamos a fração de A.

Por que esta fórmula: A fração é o capital de A dividido pelo capital total: A / (6A). Como A aparece no numerador e no denominador, simplifica para 1/6.

De onde vem cada valor: $A$ = passo 1 · $6A$ = passo 2

Passo 4 — Multiplicar a fração pelo lucro total

Agora que sabemos que A recebe 1/6 do lucro, multiplicamos essa fração pelo lucro total para achar o valor em reais.

Por que esta fórmula: O valor recebido é a fração vezes o total: (1/6) × 1.500.000. Isso porque a fração representa a parte de A no todo.

De onde vem cada valor: $\frac{1}{6}$ = passo 3 · $1.500.000$ = enunciado: lucro de um milhão e meio de reais

$\text{valor de A}$ = R$ 250.000

Passo 5 — Converter para mil reais

A questão pede o valor em mil reais, então precisamos transformar 250.000 reais em milhares de reais. Isso é uma conversão de unidade: 1 mil reais = 1.000 reais.

Por que esta fórmula: Para converter reais para mil reais, dividimos por 1.000, pois 1.000 reais equivalem a 1 mil reais. Como o mil é uma unidade maior, o número diminui.

De onde vem cada valor: $250.000$ = passo 4 · $1.000$ = definição: 1 mil = 1.000

Resposta: R$ 250 mil — alternativa D