Matemática · FCC · 2019 | Questão sqc-fc056623

Inequação do 2º grau aplicada a alíquotas de imposto

Gabarito: letra C. A inequação $(4x - 77)(83 - 4x) \geq 0$ tem como solução o intervalo $19,25 \leq x \leq 20,75$ (em %). Aplicando esses percentuais ao preço de R$ 428,00, o imposto mínimo é $19,25\% \times 428 = 82,39$ e o máximo é $20,75\% \times 428 = 88,81$ , resultando no intervalo R$ 82,39 a R$ 88,81.

A questão combina dois conteúdos: resolução de inequação-produto e aplicação de porcentagem. Vamos por partes.

1. Resolvendo a inequação

A inequação $(4x - 77)(83 - 4x) \geq 0$ é do tipo produto de dois fatores. Para que o produto seja não negativo (≥ 0), os dois fatores devem ter o mesmo sinal (ambos positivos ou ambos negativos) ou um deles ser zero.

Encontramos as raízes de cada fator:

$4x - 77 = 0 \Rightarrow x = \frac{77}{4} = 19,25$
$83 - 4x = 0 \Rightarrow x = \frac{83}{4} = 20,75$

Como o coeficiente de $x^2$ no produto expandido é negativo ( $(4x)(-4x) = -16x^2$ ), a parábola tem concavidade para baixo. Isso significa que a função é não negativa exatamente entre as raízes. Portanto:

19,25 \leq x \leq 20,75

Ou seja, a alíquota varia de 19,25% a 20,75%.

2. Calculando o imposto

O imposto é o percentual da alíquota aplicado sobre o preço de R$ 428,00. Calculamos os dois extremos:

Mínimo: $19,25\% \times 428 = 0,1925 \times 428 = 82,39$
Máximo: $20,75\% \times 428 = 0,2075 \times 428 = 88,81$

Portanto, o imposto devido está entre R$ 82,39 e R$ 88,81.

Caso	Atribuição de x (alíquota)	Resultado do imposto (R$)
Raiz inferior (mínimo)	x = 19,25%	0,1925 × 428 = 82,39
Raiz superior (máximo)	x = 20,75%	0,2075 × 428 = 88,81
Intervalo válido	19,25 ≤ x ≤ 20,75	82,39 ≤ imposto ≤ 88,81

Alternativa A — ❌ Incorreta

Os valores 80,39 e 84,81 não correspondem a nenhum percentual do intervalo. O limite inferior 80,39 seria obtido com uma alíquota de aproximadamente 18,78%, que está fora do intervalo; o superior 84,81 corresponderia a 19,81%, que também não é o extremo. A banca provavelmente usou percentuais aleatórios ou erros de cálculo.

Alternativa B — ❌ Incorreta

O limite inferior 82,39 está correto (19,25% de 428), mas o superior 86,53 não. Esse valor corresponderia a uma alíquota de aproximadamente 20,22%, que não é o extremo máximo do intervalo. O correto é 88,81.

Alternativa C — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Como demonstrado, o intervalo de alíquotas é de 19,25% a 20,75%. Aplicando ao preço de R$ 428,00, obtemos exatamente R$ 82,39 (mínimo) e R$ 88,81 (máximo).

Alternativa D — ❌ Incorreta

O limite inferior 84,53 não corresponde a 19,25% de 428 (que é 82,39). Esse valor seria obtido com uma alíquota de aproximadamente 19,75%, que não é o extremo inferior. O limite superior 88,81 está correto, mas como o inferior está errado, a alternativa é falsa.

Alternativa E — ❌ Incorreta

Os valores 86,39 e 92,81 estão ambos acima dos corretos. O primeiro corresponderia a uma alíquota de aproximadamente 20,18% e o segundo a 21,69%, ambos fora do intervalo de 19,25% a 20,75%.

NÃO CAIA NESSA!

A banca explora a confusão entre os extremos do intervalo de alíquotas e os valores do imposto. Muitos candidatos resolvem a inequação corretamente (19,25% a 20,75%), mas erram ao aplicar a porcentagem, invertendo os limites ou usando percentuais errados. Outra armadilha é esquecer que a inequação é ≥ 0, incluindo os extremos — se fosse > 0, os valores exatos não seriam aceitos. Fique atento: o intervalo é fechado, então os extremos estão incluídos.

PEGA ESSA DICA!

Para resolver inequações-produto, encontre as raízes de cada fator e analise o sinal da função quadrática resultante. Se o coeficiente de $x^2$ for negativo, a função é positiva entre as raízes; se for positivo, é positiva fora delas. Depois, aplique os percentuais ao valor base com cuidado — use a forma decimal (19,25% = 0,1925) para evitar erros de cálculo.

Gabarito: letra C