Questão de Estatística — Cálculo de Probabilidades — FCC 2019

Teste de Hipóteses para Proporção: Erro Tipo I

Gabarito: letra C. A probabilidade de erro tipo I é a probabilidade de rejeitar a hipótese nula quando ela é verdadeira, ou seja, $P(X=0) + P(X=1) + P(X=9) + P(X=10)$ sob $p=0,5$, que resulta em $11/512$. O cálculo usa a distribuição binomial com $n=10$ e $p=0,5$.

O erro tipo I (nível de significância, $α$) ocorre quando rejeitamos $H_0$ sendo ela verdadeira. Aqui, $H_0: p=0,5$ e a regra de rejeição é $n<2$ ou $n>8$, ou seja, rejeitamos se o número de dias com o evento for 0, 1, 9 ou 10. Como a amostra é de 10 dias e cada dia é independente, o número de dias com o evento segue uma distribuição binomial com $n=10$ e, sob $H_0$, $p=0,5$. A probabilidade de erro tipo I é a soma das probabilidades desses quatro valores.

A fórmula da binomial é $P(X=k) = C_{10,k} \cdot p^k \cdot (1-p)^{10-k}$. Com $p=0,5$, temos $p^k \cdot (1-p)^{10-k} = (0,5)^{10} = \frac{1}{1024}$ para qualquer $k$. Assim, basta somar os coeficientes binomiais:

• $P(X=0) = C_{10,0} \cdot \frac{1}{1024} = 1 \cdot \frac{1}{1024}$

• $P(X=1) = C_{10,1} \cdot \frac{1}{1024} = 10 \cdot \frac{1}{1024}$

• $P(X=9) = C_{10,9} \cdot \frac{1}{1024} = 10 \cdot \frac{1}{1024}$

• $P(X=10) = C_{10,10} \cdot \frac{1}{1024} = 1 \cdot \frac{1}{1024}$

Somando: $1 + 10 + 10 + 1 = 22$, então $\alpha = \frac{22}{1024} = \frac{11}{512}$.

A pegadinha clássica é esquecer que a regra de rejeição inclui os dois extremos (0 e 1, 9 e 10) e calcular apenas um lado, ou errar a soma dos coeficientes. Além disso, é comum confundir erro tipo I com erro tipo II: o erro tipo II seria a probabilidade de não rejeitar $H_0$ quando ela é falsa, o que exigiria um valor alternativo de $p$ (não fornecido aqui).

Alternativa A — ❌ Incorreta

O valor $21/1024$ corresponde a somar apenas três dos quatro termos, por exemplo, $1 + 10 + 10 = 21$, esquecendo o termo $P(X=10)$. O correto é incluir todos os valores que levam à rejeição: 0, 1, 9 e 10.

Alternativa B — ❌ Incorreta

$5/256$ é igual a $20/1024$, que não corresponde a nenhuma soma parcial óbvia dos coeficientes. Pode ser resultado de erro na contagem dos coeficientes ou de considerar apenas um dos extremos (por exemplo, $10 + 10 = 20$).

Alternativa C — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Como calculado, $\alpha = \frac{22}{1024} = \frac{11}{512}$. A soma dos coeficientes binomiais para $k=0,1,9,10$ é $1+10+10+1=22$, e cada termo tem probabilidade $\frac{1}{1024}$.

Alternativa D — ❌ Incorreta

$5/512$ é igual a $10/1024$, que corresponde a apenas um dos termos (por exemplo, $P(X=1)$ ou $P(X=9)$). A regra de rejeição inclui quatro valores, não apenas um.

Alternativa E — ❌ Incorreta

$1/512$ é igual a $2/1024$, que não corresponde a nenhuma combinação dos coeficientes. Pode ser resultado de considerar apenas $P(X=0) + P(X=10) = 2/1024$, esquecendo os termos $k=1$ e $k=9$.

Gabarito: letra C