Estatística · FCC · 2019 | Questão sqc-fc058430

Probabilidade e Conjuntos: Sócios de Clubes

Gabarito: letra D. A probabilidade de um habitante ser sócio somente do clube Alfa é de 28%, obtida pela resolução de um sistema linear que relaciona as proporções de sócios de cada clube com as informações de interseção e não-sócios.

A questão envolve probabilidade e teoria de conjuntos. Vamos definir as variáveis:

$A$ : evento de ser sócio do clube Alfa.
$B$ : evento de ser sócio do clube Beta.
$P(A \cap B) = 8\%$ (sócios dos dois clubes).
$P(\text{não sócio de nenhum}) = 24\%$ .
$P(A) = \frac{3}{4} P(B)$ (o número de sócios de Alfa é 3/4 do número de sócios de Beta).

Queremos $P(A \cap B^c)$ , ou seja, a probabilidade de ser sócio somente de Alfa.

Primeiro, calculamos a probabilidade de ser sócio de pelo menos um clube:

P(A \cup B) = 1 - P(\text{não sócio de nenhum}) = 1 - 0,24 = 0,76.

Pela fórmula da união de dois eventos:

P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B).

Substituindo os valores conhecidos:

0,76 = P(A) + P(B) - 0,08.

Portanto:

P(A) + P(B) = 0,84.

Usando a relação $P(A) = \frac{3}{4} P(B)$ , temos:

\frac{3}{4} P(B) + P(B) = 0,84 \Rightarrow \frac{7}{4} P(B) = 0,84 \Rightarrow P(B) = 0,84 \times \frac{4}{7} = 0,48.

Assim, $P(A) = \frac{3}{4} \times 0,48 = 0,36$ .

A probabilidade de ser sócio somente de Alfa é:

P(A \cap B^c) = P(A) - P(A \cap B) = 0,36 - 0,08 = 0,28 = 28\%.

Portanto, a alternativa correta é a letra D.

Sócios de Clubes — só Alfa: 28%; só Beta: 40%; Alfa∩Beta: 8%

Alternativa A — ❌ Incorreta

30%. Esse valor não corresponde a nenhuma das probabilidades calculadas. O candidato pode ter chegado a esse número ao confundir a probabilidade de ser sócio de Alfa (36%) com a de ser sócio somente de Alfa (28%), ou ao errar o cálculo da interseção.

Alternativa B — ❌ Incorreta

32%. Esse valor não é resultado de nenhuma operação correta com os dados fornecidos. Pode ter surgido de um erro ao subtrair a interseção de forma incorreta ou ao confundir as proporções entre os clubes.

Alternativa C — ❌ Incorreta

20%. Esse valor é a diferença entre a probabilidade de ser sócio de Beta (48%) e a interseção (8%), ou seja, a probabilidade de ser sócio somente de Beta. A banca trocou os clubes: quem calcula $P(B) - P(A \cap B) = 0,48 - 0,08 = 0,40$ não chega a 20%, mas quem confunde as proporções pode errar. Na verdade, 20% não corresponde a nenhum cálculo direto, mas é um distrator plausível para quem erra a relação entre Alfa e Beta.

Alternativa D — ✅ Correta ⟵ GABARITO

28%. Como demonstrado, $P(A \cap B^c) = P(A) - P(A \cap B) = 0,36 - 0,08 = 0,28 = 28\%$ . Este é o valor correto.

Alternativa E — ❌ Incorreta

34%. Esse valor não é resultado de nenhuma operação correta. Pode ter surgido de um erro ao calcular $P(A)$ ou ao subtrair a interseção de forma incorreta.

NÃO CAIA NESSA!

A banca explora a confusão entre "sócio de Alfa" (que inclui quem também é sócio de Beta) e "sócio somente de Alfa" (exclui a interseção). Muitos candidatos calculam $P(A) = 36\%$ e marcam a alternativa que contém esse valor, mas a questão pede especificamente a probabilidade de ser sócio somente de Alfa, que é $36\% - 8\% = 28\%$ . Fique atento a essa distinção!

PEGA ESSA DICA!

Em questões de probabilidade com conjuntos, sempre identifique se o evento pedido é "somente A", "A e B", "A ou B", etc. Desenhe um diagrama de Venn para visualizar as regiões e evite erros de interpretação. Lembre-se: $P(A \cap B^c) = P(A) - P(A \cap B)$ .

Gabarito: letra D.